נתון הגבול הבא:
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(3\pi x)}{\sin(2\pi x)}
האם ניתן להשתמש בחילופי משתנים כדי להגיע למצב של \sin(x)/x=1? אם כן איך בדיוק?
תודה רבה על העזרה.
בהערכת הגבול הבא:
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(3\pi x)}{\sin(2\pi x)}
אנו נתקלים בצורה של \frac{0}{0}, שכן גם המונה והמכנה נוטים לאפס כאשר x מתקרב ל-1. צורה לא מוגדרת זו מרמזת על השימוש בכלל לופיטל לפישוט. לפיו נקבל:
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(3\pi x)}{\sin(2\pi x)}=\lim_{x \to 1}\frac{3\pi\cos(3\pi x)}{2\pi\cos(2\pi x)}=\frac{3\pi\cos(3\pi)}{2\pi\cos(2\pi)}
בהינתן כי מתקיים \cos(3\pi) = \cos(\pi) = -1 וגם \cos(2\pi) = \cos(0) = 1, נקבל:
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(3\pi x)}{\sin(2\pi x)}=-\frac{3}{2}
לכן, הגבול של הפונקציה המקורית כאשר x שואף ל-1 הוא -1.5.
אכן ניתן להשתמש בהחלפת משתנים כדי לפתור את הגבול בעזרת הגבולות הידועים הבאים:
\lim_{x\to 0}\frac{\sin(x)}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{x}{\sin(x)} = 1
מכיוון שבגבול המקורי, x שואף ל-1, נגדיר משתנה חדש u כך שמתקיים u = x - 1. לפיכך הגבול המתקבל הינו:
\begin{align*}
\lim_{x \to 1}\frac{\sin(3\pi x)}{\sin(2\pi x)}&=\lim_{u \to 0}\frac{\sin(3\pi (u-1))}{\sin(2\pi (u-1))}\\
&=\lim_{u \to 0}\frac{\sin(3\pi u-3\pi)}{\sin(2\pi u-2\pi)}\\
\end{align*}
בעזרת המאפיינים המחזוריים של פונקציית סינוס, נפשט כל ביטוי. עבור הביטוי במונה, נשתמש בזהויות הטריגונומטריות לפיהם מתקיים \sin(x - 2\pi) = \sin(x) וגם \sin(x-\pi)=-\sin(x):
\begin{align*}
\sin(3\pi u-3\pi)&=\sin(3\pi u-\pi-2\pi)\\
&=\sin(3\pi u-\pi)\\
&=-\sin(3\pi u)
\end{align*}
עבור הביטוי במכנה, נשתמש בזהות הטריגונמטרית לפיה מתקיים \sin(x - 2\pi) = \sin(x):
\sin(2\pi u-2\pi)=\sin(2\pi u)
סה"כ נקבל:
\begin{align*}
\lim_{u \to 0}\frac{\sin(3\pi u-3\pi)}{\sin(2\pi u-2\pi)}&=\lim_{u\to 0}\frac{-\sin(3\pi u)}{\sin(2\pi u)}\\
&=-\lim_{u\to 0}\frac{\sin(3\pi u)}{\sin(2\pi u)}\cdot\frac{3\pi u}{3\pi u}\cdot\frac{2\pi u}{2\pi u}\\
&=-\frac{3}{2}\lim_{u\to 0}\frac{\sin(3\pi u)}{3\pi u}\cdot\frac{2\pi u}{\sin(2\pi u)}\\
&=-\frac{3}{2}\cdot1\cdot 1=-\frac{2}{3}
\end{align*}
מכך נובע כי בעזרת החלפת משתנים, קיבלנו כי הגבול המתקבל הינו שואף ל--1.5.