מלבן חסום בתוך מעגל

מלבן ABCD חסום במעגל.
הנקודה E נמצאת על הקשת AB כך ש-DE=DC (ראה ציור).
א. הוכח: EB=BC.
ב. הוכח \measuredangle EDB=\measuredangle DBA.
שרטוט:

אשמח לעזרה עם השאלה הזאת.
תודה רבה.

לפני שנפתור את השאלה, עלינו להוסיף שתי בניות עזר:

  • נעביר אלכסון BD במלבן ABCD.
  • נעביר מיתר BE.

במלבן כל הזויות ישרות, ולכן בפרט \measuredangle C=90^{\circ}. זווית הקפית נשענת על קוטר אם ורק אם היא זווית ישרה ולכן אלכסון DB הוא קוטר של המעגל. ע"פ אותו משפט נקבל כי \measuredangle DEB=90^{\circ} שכן כי היא זווית היקפית הנשענת על הקוטר BD. ע"פ הנתון DE=DC ולכן נוכל להסיק כי המשולש EDC הוא משולש שווה שוקיים שבו זוויות הבסיס שוות. אך, מאחר ומתקיים \measuredangle C= \measuredangle BED=90^{\circ} אז ההשלמות של הזויות גם שוות, כלומר מתקיים \measuredangle BCE = \measuredangle BEC. משולש בעל שתי זויות שוות הוא משולש שווה שוקיים ולכן BC=BE. במלבן, כל זוג צלעות נגדיות שוות, ולכן AD=BC משמע AD=BC=BE.
בנוגע לסעיף ב’ - למיתרים שווים, זויות היקפיות שוות ולכן \measuredangle DBA=\measuredangle BDE שכן הזווית \measuredangle DBA נשענת על המיתר AD והזווית \measuredangle BDE נשענת על המיתר BE.

בהצלחה :slight_smile: