נניח כי 0<a<c<b. השתמשו בנוסחת לגרנז’ עבור f(x)=\ln(x) ונקודת ביניים c (כאשר a<c<b) כדי לחשב את \ln(b)-\ln(a).
כמו כן, השתמשו בתוצאה זו ובעובדה שמתקיים a<c<b כדי לרשום את החסמים הטובים ביותר שניתן לתת באופן ישיר לביטוי \frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a} התלויים רק בגדלים a,b.
שימו לב: כל אחד משני החסמים חייב להיות תלוי רק באחד הגדלים a,b ובשום מקרה לא להיות תלוי בנקודת הביניים c.
הפונקציה f רציפה וגזירה בתחום הפתוח (0,\infty). בפרט, הפונקציה f רציפה בקטע [a,b] וגזירה בקטע (a,b). לכן, ע"פ משפט הערך הממוצע של לגראנז’ נובע כי קיימת נקודה c\in(a,b) כך שמתקיים:
f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}\Leftrightarrow\frac{1}{c}=\frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}
מכך נוכל להסיק כי מתקיים:
\ln(b)-\ln(a)=\frac{b-a}{c}
מתקיים 0<a<c<b ולכן נקבל \frac{1}{b}<\frac{1}{c}<\frac{1}{a} (הפונקציה 1/x היא מונוטונית יורדת בתחום x>0). ע"פ המשוואה הראשונה, נוכל להסיק כי מתקיים:
\frac{1}{b}\leq\frac{\ln(b)-\ln(a)}{b-a}\leq\frac{1}{a}