פתרו את השאלה הבאה:
בדקו האם הפולינום 11 + 4x - x^2 + 7x^3 - x^4 שייך למרחב הנפרש על ידי הפולינום 2 + x - x^2 + x^3 - x^4 והפולינום 4 + x + x^2 + 3x^3 + x^4.
כדי לבדוק אם הפולינום שייך למרחב הנפרש על-ידי הפולינומים הנתונים, עלינו לראות אם קיימים סקלרים a ו-b כך שמתקיים:
a(2 + x - x^2 + x^3 - x^4) + b(4 + x + x^2 + 3x^3 + x^4) =
11 + 4x - x^2 + 7x^3 - x^4
נפתח את צד שמאל של המשוואה, כך שנקבל:
(2a + 4b) + (a + b)x + (-a + b)x^2 + (a + 3b)x^3 + (-a + b)x^4
כלומר מערכת המשוואות המתקבלת הינה:
\begin{cases}
2a+4b=11\\
a+b=4\\
-a+b=-1\\
a+3b=7\\
-a+b=-1
\end{cases}
נעביר לייצוג מטריציוני:
\begin{bmatrix}
2 & 4 \\
1 & 1 \\
-1 & 1 \\
1 & 3 \\
-1 & 1
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
a \\ b
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
11 \\ 4 \\ -1 \\ 7 \\ -1
\end{bmatrix}
נדרג את המטריצה:
\begin{bmatrix}2 & 4 & 11\\
1 & 1 & 4\\
-1 & 1 & -1\\
1 & 3 & 7\\
-1 & 1 & -1
\end{bmatrix}\rightarrow\begin{bmatrix}
1 & 0 & 2.5\\
0 & 1 & 1.5\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0\\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix}
קיבלנו כי מתקיים:
\begin{cases}
a=2.5\\
b=1.5
\end{cases}
מכך נובע כי הפולינום אכן שייך למרחב הנפרש על-ידי הפולינומים הנתונים.