מציאת שיעורי נקודות וחישוב שטח משולש במערכת צירים

שלום לכולם,
אשמח לקבל עזרה עם השאלה הבאה:
בציור מתוארים שני ישרים. ישר AD וישר BC. משוואת הישר AD היא y=-2x+18.
שני הישרים נחתכים בנקודה P(5,8). נתון כי שטח המשולש PDC הוא 44 יח"ר.
א. מצא את שיעורי הנקודה C.
ב. חשב את שטח המשולש ABP.
תשובות סופיות: א. (-2,0) ב. 39\frac{2}{7}.
שרטוט:

image

תודה רבה

שלום @liornaim וברוך הבא לפורום SolX.
אנא קרא את חוקי הפורום. אנו מעדיפים שמשתמשים יכתבו את השאלה במקום שיעלו תמונה וזאת כדי שבעתיד יהיה יותר קל למצוא אותה. כמו כן, פעם הבאה אנא הסבר כיצד ניסית לגשת אל השאלה.

סעיף א
נשתמש בבניית עזר - נוריד גובה מהנקודה P לציר האופקי ונסמן את נקודת החיתוך ב-S. כמו כן, נסמן ב-O את ראשית הצירים.
ידוע כי שיעורי הנקודה P הם (5,8) ולכן SP=8. נחשב את נקודת החיתוך של הישר y=-2x+18 עם הציר האופקי:

0=-2x+18 \Rightarrow x=9 \Rightarrow D(9,0)

ידוע כי שטח המשולש PDC הוא 44 יח"ר ולכן נקבל:

\begin{align*} S=\frac{PS\cdot CD}{2} & \Leftrightarrow 44=\frac{8\cdot CD}{2}\\ & \Leftrightarrow CD=11 \end{align*}

קיבלנו כי אורך CD הוא 11 יחידות. ידוע כי אורך OD הוא 9 יחדות ולכן אורך OC הוא 2 כלומר שיעורי הנקודה C הם (-2,0).

סעיף ב
נשתמש בבניית עזר נוספת - נוריד גובה מהנקודה P לציר האנכי ונסמן את נקודת החיתוך ב-M. ידוע כי שיעורי הנקודה P הם (5,8) ולכן אורך MP הוא 5 יחידות. ידועות לנו שתי הנקודות P ו-C ולכן נוכל לחשב את השיפוע של הישר CP:

m=\frac{8-0}{5-(-2)}=\frac{8}{73}

עתה, נוכל למצוא את משוואת הישר CP:

y-0=\frac{8}{7}(x-(-2)) \Rightarrow y=\frac{8}{7}x+\frac{16}{7}

נמצא את נקודת החיתוך של הישר CP עם הציר האנכי:

y=\frac{8}{7}\cdot 0+\frac{16}{7} =\frac{16}{7} \Rightarrow B(\frac{16}{7},0)

כמו כן, נמצא את נקודת החיתוך של הישר AD עם הציר האנכי:

y=-2\cdot 0+18=18 \Rightarrow A(0,18)

עתה, נוכל להסיק כי אורך AB הוא 18-\frac{16}{7}=\frac{110}{7} יחידות. לכן שטח המשולש ABP הינו:

S_{ABP}=\frac{PM\cdot AB}{2}=\frac{\frac{110}{7}\cdot5}{2}=\frac{275}{7}

מקווה שמובן :slight_smile:

2 לייקים