הוכחת שוויונים של אינטגרלים

מתמטיקה
1

שלום,
אשמח לעזרה עם השאלה הבאה:
תהא f\, : \, R\to R פונקציה רציפה. הראו כי מתקיים:
א. השוויון הבא:

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(sinx)dx = \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} f(cosx)dx

ב. השוויון הבא:

\int_{0}^{a} x^{3}f(x^{2})dx =\frac{1}{2} \int_{0}^{a^2} xf(x)dx
2

לגבי הסעיף הראשון: נשים לב שמתקיים \int_{0}^{\pi/2} f(\sin(x))dx=\int_{0}^{\pi/2} f(\cos(\frac{\pi}{2}-x))dx.
כעת נוכל להציב u=\frac{\pi}{2}-x ולכן du=-dx ונקבל -\int_{\pi/2}^{0}f(\cos(u))du=\int_{0}^{\pi/2} f(\cos(u))du.

לגבי הסעיף השני: נסה להציב u=x^2.

3 לייקים
3

א. נשתמש בשיטת ההצבה כדי לפתור את האינטגרל. תחילה נסמן \sin x=\cos u. עתה, נשתמש בזהות מוכרת \sin x=\cos (\frac{\pi}{2}-x) כדי לקבל \cos u=\cos(\frac{\pi}{2}-x). נבחר u=\frac{\pi}{2}-x.
עתה, נגזור את צידי השוויון \sin x=\cos u כך שנקבל \cos x dx=-\sin u du.
ע"פ הזהות \cos ^{2}x+\sin ^{2}x=1 נקבל (בהנחה כי \sin u>0):

\cos{x} = \sqrt{1-\sin^2{x}} = \sqrt{1-\cos^2{u}} = \sin{u}

קיבלנו כי מתקיים dx=-du ולכן סה"כ נקבל:

\int_0^{\pi/2} f(\sin{x}) \, dx = -\int_{\pi/2}^{0} f(\cos{u}) \, du = \int_0^{\pi/2} f(\cos{u}) \, du

ב. ישנן מספר דרכים להוכיח את השוויון. הדרך הקלה ביותר כנראה היא לסמן u=a+b-x ואז לגזור ולקבל dx=-du. לכן נקבל:

\begin{align*} \int_a^bf(x)\,dx&=\int_{(a+b)-a}^{(a+b)-b}f(a+b-u)(-du)\\&=-\int_b^af(a+b-u)\,du\\&=\int_a^bf(a+b-u)\,du \end{align*}

עתה, נסמן u=x כך שנקבל את צד שמאל.
עבור צד ימין, נסמן u=x^2 ונגזור כך שנקבל du=2xdx. לפיכך נובע:

\begin{align*} \int_0^ax^3f(x^2)\,dx&=\frac{1}{2}\int_0^ax^2f(x^2)(2xdx)\\&=\frac{1}{2}\int_0^{a^2}uf(u)\,du \end{align*}

נציב u=x ונקבל את צד ימין, כנדרש.

2 לייקים