חישוב טור אינסופי כתלות בפרמטר

שלום,
אשמח לעזרה בחישוב הטור הבא:

\sum_{n=1}^\infty \frac{10n^2}{n^3+k^3}

מה עושים בכזה מקרה?
תודה רבה

נשים לב לאי-שוויון הבא עבור כל n\in\mathbb{N} כאשר n>k:

\frac{10n^2}{n^3+k^3}> \frac{10n^2}{n^3+n^3}=\frac{5}{n}

כמו כן, נוכל להסיק כי מתקיים:

\sum_{n=1}^\infty \frac{10n^2}{n^3+k^3}= \sum_{n=1}^k \frac{10n^2}{n^3+k^3}+\sum_{n=k+1}^\infty \frac{10n^2}{n^3+k^3}\geq \sum_{n=1}^k \frac{10n^2}{n^3+k^3}+5\sum_{n=k+1}^\infty \frac{1}{n}.

מאחר והטור \sum\frac{1}{n} מתבדר נובע כי גם הטור \sum_{n=k+1}^{\infty} \frac{10n^2}{n^3+k^3} מתבדר.
לפיכך נוכל להסיק כי גם הטור הנתון מתבדר.

2 לייקים

התגובה של גלעד כמובן מצויינת, אבל אני ארצה לגשת לשאלה הזו בגישה יותר אינטואיטיבית. כמובן, אינטואיציה הרבה פעמים מובילה לתשובה לא נכונה, אך אם נשתמש בה בצורה מושכלת אז נוכל להגיע לתשובה.

נשים לב שבביטוי n^3+k^3, מאחר ו-k הוא בסך הכל פרמטר, עבור n-ים “גדולים” הוא זניח ולכן אנחנו סוכמים ביטויים מהצורה \frac{10n^2}{n^3}=\frac{10}{n}.
כלומר ניתן להבין כי ככל שנתקדם הטור יתנהג יותר ויותר כמו הטור ההרמוני.

התוקף המתמטי של הגישה שלנו מתקבל במבחן ההשוואה הגבולי. יהיה n עבורו הטור חיובי ממנו והלאה. ולכן
\lim_{n\to \infty} \frac{\frac{10n^2}{n^3+k^3}}{\frac{10}{n}}=1
ולכן הטורים באמת מתבדרים יחדיו.

2 לייקים

אז בעצם בגלל שהטור מתבדר לא ניתן לחשב אותו בכלל?
כלומר כשכתוב “חשבו” הכוונה היא לא “קבעו אם מתדבר/מתכנס” לא?

תודה רבה

לייק 1

אם הוא היה מתכנס אז כנראה כן היית צריכה לחשב למה הטור מתכנס, אולם מאחר ובמקרה זה הטור מתבדר אז אין צורך בכך.