נבנה שני ריבועים שאורך כל אחת מצלעותיהם כסכום אורכי הניצבים: a+b ונשרטט בכל ריבוע ארבעה משולשים ישרי זווית (ראו שרטוט). כמו כן נתון משולש ישר זווית שאורך הניצבים הוא a ו-b ואורך היתר הוא c.
א. צבעו בכל ריבוע את ארבעת המשולשים שנוצרו.
ב. נסו להסביר מדוע בשרטוט I נוצר ריבוע.
ג. הסבירו מדוע אורך היתר במשולש שבריבוע I שווה ל-c.
ד. רשמו בכל אחד משלושת הריבועים שנוצרו את שטחו.
ה. הוכיחו את משפט פיתגורס.
אשמח לעזרה עם שני הסעיפים האחרונים.
למען השלמות והדורות הבאים, אפתור את כל הסעיפים.
א. המשולשים כבר צבועים לך בצבע תכלת.
ב. אלכסון חוצה את המלבן לשני משולשים ישר זווית זהים ולכן נוצרו שני מלבנים כך שהאורך של אחד מהם שווה לרוחב של השני ולכן נוצר ריבוע.
ג. מוצר מלבן שבו אורך a ורוחב b. מאחר והזוויות במלבן הן ישרות נובע כי נוצר משולש ישר זווית שהיתר שלו הוא אלכסון המלבן. לכן ע"פ המשולש הנתון בתרגיל נובע כי אורך היתר הוא c.
ד. בשרטוט I, אורכם של צלעות הריבוע הקטן הוא a ולכן שטחו a^2. כמו כן, בשרטוט I אורכם של צלעות הריבוע הגדול הוא b ולכן שטחו b^2. בשרטוט II אורכם של צלעות הריבוע הוא c ולכן שטחו הוא c^2.
ה. ישנן הוכחות רבות למשפט פיתגורס. חלק פשוטות יותר וחלק מורכבות יותר.
מאחר ויש ברשותינו כבר את שרטוט II, נשתמש בהוכחה שלו. ניקח ארבעה משולשים ישרי זווית שצלעותיהם הם a,b,c ונסדר אותם כמתואר בשרטוט II. נוצרים שני ריבועים: ריבוע חיצוני שאורך צלעו (a+b) וריבוע פנימי שאורך צלעו c. שטח הריבוע החיצוני הוא (a+b)^2 והוא שווה לסכום שטחיהם של ארבעת המשולשים ישרי הזווית ושל הריבוע הפנימי. כלומר מתקיים: