כל נקודת משותפת, פרט לנקודה אחת, היא נקודת השקה

מתמטיקה
1

קיבלתי את השאלה הבאה - “הוכח: כל נקודה משותפת, פרט לנקודה אחת, של הישר y=x עם גרף הפונקציה y=x\sin(x) היא נקודת השקה.”

מה שעשיתי עד כה הוא להשוות בין הפונקציות

x\sin(x)=x \\ x(\sin(x)-1)=0 \\ x=0 || x=\frac{\pi}{2}+2\pi k, k\in\mathbb{Z}

מצאתי ש-(0,0) היא הנקודה שבה y=x לא משיקה לפונקציה y=x\sin(x), אבל לא הבנתי איך אני אמור להוכיח שבכל נקודה אחרת שבה מתקיים חיתוך בין הפונקציות, y=x בהכרח משיקה? ניסיתי לגזור ולהשוות ל-1 אבל אני מקבל משוואה שאני לא יכול לפתור

sin(x)+x\cos(x)=1\
2

מצאתי את הפתרון, מציבים את הפתרון הכללי

x=\frac{\pi}{2}+2\pi k

למשוואה ומקבלים

\sin(\frac{\pi}{2}+2\pi k)+(\frac{\pi}{2}+2\pi k)\cos(\frac{\pi}{2}+2\pi k)=1

ובגלל שמתקיים

\cos(\frac{\pi}{2}+2\pi k)=0

מקבלים

\sin(\frac{\pi}{2}+2\pi k)=1

שזה פסוק אמת.

לייק 1