שלום,
אשמח לעזרה עם הטור הבא (חיובי):
\sum_{n=0}^{\infty}\sin\left( \frac{1}{n} \right ) - \ln \left( 1+\frac{1}{n} \right )
על פניו, מרגיש שהדבר הנכון הוא לבצע את מבחן המנה עם הטור \sum\frac{1}{n}.
אבל מגיעים לגבול ששואף לאפס וזה לא אומר דבר.
ניסיתי גם את מבחן ההשוואה.
Zeta
2
ישנן מספר דרכים להוכיח שהטור מתכנס. הדרך הקלה ביותר היא להשתמש בטורי טיילור ולראות כי מתקיים:
\left\{\begin{matrix}
\sin\left(\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right) \\
\ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = \frac{1}{n} + O\left(\frac{1}{n^2}\right)
\end{matrix}\right.
\Rightarrow \sin\left(\frac{1}{n}\right) - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) = O\left(\frac{1}{n^2}\right)
מכאן זה פשוט. דרך דומה נוספת היא להסיק כי מתקיים:
\sin\left(\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} \hspace{24 pt} \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) > \frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2}
לפיכך נובע (הסדרה חיובית):
\sin\left(\frac{1}{n}\right) - \ln\left(1+\frac{1}{n}\right) < \frac{1}{n} - \left(\frac{1}{n} - \frac{1}{2n^2}\right) = \frac{1}{2n^2}
לייק 1