כיצד לפתור את המשוואה הבאה?
log_{27}\left(\frac{x}{9}\right) +log_{x}(3x)=\frac{3}{2}
נפתור את המשוואה:
\begin{align*}
\log_{27}\left(\frac{x}{9}\right) +\log_{x}(3x)=\frac{3}{2}
& \Leftrightarrow \frac{\log{\left(\frac{x}{9}\right)}}{\log(27)}+\frac{\log(3x)}{\log(x)}=\frac{3}{2}\\
& \Leftrightarrow \frac{\log(x)-\log(9)}{\log(27)}+\frac{\log(3x)}{\log(x)}=\frac{3}{2}\\
& \Leftrightarrow \frac{\log(x)-\log(9)}{\log(27)}+\frac{\log(3)+\log(x)}{\log(x)}=\frac{3}{2}\\
& \Leftrightarrow \log^2(x)-\log(9)\log(x)+\log(27)\log(3)+\log(27)\log(x)=1.5\log(27)\log(x)\\
& \Leftrightarrow \log^2(x)+(-\log(9)+log(27)-1.5\log(27))\log(x)+\log(3^3)\log(3)=0\\
& \Leftrightarrow \log^2(x)-3.5\log(3)\log(x)+3\log^2(3)=0\\
& \Leftrightarrow t^2-3.5\log(3)t+3\log^2(3)=0
\end{align*}
במעבר האחרון סימנו t=log(x). ע"פ נוסחת השורשים נקבל:
\begin{align*}
t_{1,2}&= \frac{-(-3.5\log(3))\pm\sqrt{(-3.5\log(3))^2-4\cdot3\cdot\log^2(3)\cdot 1}}{2\cdot1}\\
& = \frac{3.5\log(3)\pm\sqrt{12.25\log^2(3)-12\cdot\log^2(3)}}{2}\\
& = \frac{3.5\log(3)\pm\sqrt{0.25\log^2(3)}}{2}=\frac{3.5\log(3)\pm 0.5\log(3)}{2}\\
\end{align*}
סה"כ נקבל את שני הפתרונות t_{1,2}\in\{1.5log(3),2\log(3)\}.
מאחר וסימנו t=log(x) נקבל:
t_{1}=1.5log(3)\Rightarrow log(x)=log(3^{1.5})\Rightarrow x=3^{1.5}=3\sqrt{3}\\
t_{2}=2log(3)\Rightarrow log(x)=log(3^2)\Rightarrow x=3^2=9
פתרונות המשוואה הם x_{1,2}\in\{3\sqrt{3},9\}.
בהצלחה 