משפט: תהי חבורה מסדר 2n. הראו שקיים בחבורה איבר x\neq e כך שמתקיים x^{2}=e.
כיצד עלי לגשת לשאלה? אני מנסה להשתמש בתכונות של חבורות אבל לא מצליח להמשיך.
תודה רבה 
מאחר ונתון כי G חבורה, לכל איבר a\in G קיים הופכי יחיד a^{-1}\in G המקיים a\cdot a^{-1}=e. אם עבור a_{1}\in G מתקיים a_{1}^{2}=e אז סיימנו. אחרת, משמעות הדבר היא שמתקיים a_{1}\neq a_{1}^{-1} (שכן אחרת נקבל a_{1}^{2}=e). נתבונן בקבוצה הבאה A=\{e,a_{1},a_{1}^{-1}\}. מאחר והסדר של G הוא זוגי (שכן |G|=2n) והקבוצה A מכילה מספר אי-זוגי של איברים (שלושה סה"כ) אז בהכרח קיים איבר נוסף בקבוצה G\backslash A. נסמן את האיבר הנ"ל ב-a_{2}. אם a_{2}=a_{2}^{-1} אז בהכרח a_{2}^{2}=e וסיימנו. אחרת, משמעות הדבר היא שמתקיים a_{2}\neq a_{2}^{-1} (שכן אחרת נקבל a_{2}^{2}=e). לכן נוסיף את האיבר a_{2} לקבוצה A ונמשיך באותו אופן. התהליך חייב להיעצר, שכן אם נגיע למצב שבו ב-G\backslash A נותר רק איבר אחד אז בהכרח האיבר הזה מקיים x^{2}=e, שכן לא יכול להיות לו הופכי שונה ממנו עצמו (כי אחרת היו בחבורה 2n+1 איברים).
לייק 1