בחבורה G נגדיר יחס \sim באופן הבא: a\sim b אם ורק אם קיים g\in G המקיים b=gag^{-1}.
הוכיחו כי \sim יחס שקילות ב-G.
כיצד עלי להוכיח זאת?
נוכיח כי \sim יחס שקילות ב-G:
א. רפלקסיביות: ברור כי e\in G וכי מתקיים a=eae^{-1} ולכן a\sim a.
ב. סימטריות: יהיו a,b\in G אשר מקיימים a\sim b. לכן ע"פ ההגדרה קיים g\in G המקיים b=gag^{-1}. נשים לב כי מתקיים:
b=gag^{-1} \Leftrightarrow a=g^{-1}bg
\Leftrightarrow a=(g^{-1})b(g^{-1})^{-1}
מאחר ו-G חבורה נובע g^{-1}\in G ולכן b\sim a ע"פ ההגדרה.
ג. טרנזיטיביות: יהיו a,b,c\in G אשר מקיימים a\sim b וגם b\sim c. לכן ע"פ ההגדרה קיימים g,h\in G אשר מקיימים b=gag^{-1} וגם c=hbh^{-1}. נשים לב כי מתקיים:
c=hbh^{-1} \Leftrightarrow c=h(gag^{-1})h^{-1}
\Leftrightarrow c=(hg)a(hg)^{-1}
מאחר ו-G חבורה, לכל h,g\in G מתקיים (hg),(hg)^{-1}\in G ולכן a\sim c ע"פ ההגדרה.
סה"כ, נוכל להסיק כי \sim יחס שקילות ב-G, כנדרש.
לייק 1