מציאת מספר האחדות של מספר

אני מנסה למצוא את מספר האחדות של (333)^{333} ושל (12)^{84}. אני תמיד נתקע בתרגילים האלה ולא מצליח להבין כיצד לפתור אותם. אשמח להסבר כיצד עלי לגשת לתרגילים האלה.

נתחיל למצוא את מספר האחדות של (12)^{84}. לשם כך, אנו צריכים לחשב (12)^{84}\,(mod\,10). תחילה נשים לב כי 12=1\cdot10+2 ולכן 12\equiv2\,(mod\,10). כמו כן, נשים לב כי מתקיים 2^{5}\equiv2\,(mod\,10). לכן נקבל:

\begin{align*} (12)^{84}&\equiv2^{84}\,(mod\,10)\equiv2^{16\cdot5+4}\,(mod\,10)\equiv\left[(2^{5})^{16}\,(mod\,10)\right]\cdot\left[2^{4}\,(mod\,10)\right]\\&\equiv2^{16}\cdot2^{4}\,(mod\,10)\equiv2^{20}\,(mod\,10)\equiv2^{4\cdot5}\,(mod\,10)\equiv2^{4}\,(mod\,10)=6\,(mod\,10) \end{align*}

לכן, נוכל להסיק כי מספר האחדות של (12)^{84}. הוא 6.
עתה, נתובנן על (333)^{333}. כמו קודם, לחשב את ספרת האחדות של מספר מסוים זה בעצם לחשב את השארית שנשארת בחלוקה של המספר ב-10, כלומר בשאלה זו מבקשים לחשב את (333)^{333}\,(mod\,10). נשים לב כי מתקיים 333=33\cdot10+3 ולכן 333\equiv3\,(mod\,10). כמו כן, נשים לב כי מתקיים 3^{4}=81\equiv1\,(mod\,10). לכן נקבל:

\begin{align*} (333)^{333}&\equiv3^{333}\,(mod\,10)\equiv3^{4\cdot83+1}\,(mod\,10)\\&\equiv\left[(3^{4})^{83}\,(mod\,10)\right]\cdot\left[3\,(mod\,10)\right]\equiv3\,(mod\,10) \end{align*}

לפיכך, נוכל להסיק כי מספר האחדות של (333)^{333} הוא 3.
מקווה שמובן, בהצלחה :slight_smile:

3 לייקים