להוכיח כי לחבורת התמורות הזוגיות אין תת-חבורה מסדר 6

[Ben]

אני מנסה להוכיח כי לחבורה A_{4} אין תת-חבורה מסדר 6. לשם כך, הנחתי בשלילה כי לחבורה A_{4} יש תת-חבורה H מסדר 6. לכן ע"פ משפט לגרנאז’ מתקיים:

[A_{4}\,:\,H]=\frac{|A_{4}|}{|H|}=2

כלומר, לחבורה H יש שני קוסטים. אבל מפה, אני לא בטוח כיצד עלי להמשיך?
אשמח לעזרה.

[Gilad]

ההתחלה שלך נכונה. נניח בשלילה כי ל-A_{4} יש תת-חבורה H מסדר 6. תחילה, נשים לב כי מתקיים |A_{4}|=\frac{4!}{2}=12. לכן ע"פ משפט לגרנאז מתקיים [A_{4}\,:\,H]=\frac{|A_{4}|}{|H|}=2. לכן יש רק שתי קוסטים של H ב-A_{4}. מאחר ואחד הקוסטים הוא H עצמו, נוכל להסיק כי הקוסט השני מקיים gH=Hg. כלומר H=gHg^{-1} לכל g\in A_{4}. נמצא את מספר התמורות מסדר 3 ב-A_{4}. תמורות אלו מהצורה (i,j,k). נבחר 3 מספרים מתוך 4 שישתתפו בתמורה. זה שקול ללבחור מספר 1 מתוך 4 שלא ישתתף בתמורה ולכן 4 אפשרויות. כמו כן, נסדר אותם ב-3! אפשרויות. מאחר ומתקיים:

(i,j,k)=(j,k,i)=(k,i,j)

נצטרך לחלק ב-3. סה"כ ע"פ עקרון הכפל נקבל 4\cdot\frac{3!}{3}=8 אפשרויות. כלומר, קיימות שמונה תמורות מסדר 3 ב-A_{4} ולכן לפחות אחת חייבת להיות ב-H שכן H מסדר 6 ו- A_{4} מסדר 12. בלי הגבלת הכלליות, נניח כי (1,2,3)\in H. מאחר ו-H חבורה בפני עצמה, מתקיים (1,2,3)^{-1}=(1,3,2)\in H. מאחר ו-ghg^{-1}\in H לכל g\in A_{4} ו-h\in H, אז נקבל:

\begin{align*} &(1,2,4)(1,2,3)(1,2,4)^{-1}=(1,2,4)(1,2,3)(1,4,2)=(2,4,3)\\&(2,4,3)(1,2,3)(2,4,3)^{-1}=(2,4,3)(1,2,3)(2,3,4)=(1,4,2)\\&(2,4,3)^{-1}=(2,3,4),\,(1,4,2)^{-1}=(1,2,4) \end{align*}

לכן נקבל:

id,(1,2,3),(1,2,4),(1,3,2),(2,3,4)(2,4,3),(1,4,2)\in H

זאת בסתירה לכך שגודלה של החבורה H הוא 6. לפיכך, חבורת התמורות הזוגיות A_{4} בהכרח אינה מכילה תת-חבורה מסדר 6, כנדרש.