תהא G קבוצת כל המטריצות הממשיות (כאשר a^{2}+b^{2}>0) מהצורה:
A= \begin{pmatrix}a & b\\ -b & a \end{pmatrix}
א. הוכיחו כי G חבורה ביחס לכפל מטריצות.
ב. הוכיחו כי מתקיים G\cong(\mathbb{C}^{\times},\cdot).
הצלחתי לפתור את הסעיף הראשון אבל אני מסתבך עם הסעיף השני.
לטובת הדורות הבאים, אני אוסיף את הפתרון של הסעיף הראשון (אשמח גם שמישהו יוודא שהפתרון אכן נכון):
נוכיח כי G חבורה ביחס לכפל מטריצות. יהיו A_{1},A_{2}\in G כך שנסמנן:
A_{1}=\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\
-b_{1} & a_{1}
\end{pmatrix},\,A_{2}=\begin{pmatrix}a_{2} & b_{2}\\
-b_{2} & a_{2}
\end{pmatrix}
תחילה נוכיח סגירות, כלומר נראה כי מתקיים A_{1}\cdot A_{2}\in G:
A_{1}\cdot A_{2}=\begin{pmatrix}a_{1} & b_{1}\\
-b_{1} & a_{1}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a_{2} & b_{2}\\
-b_{2} & a_{2}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2} & a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}\\
-(a_{2}b_{1}+a_{1}b_{2}) & a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2}
\end{pmatrix}
נסמן x=a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2} וגם y=a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1}, כך שנקבל את המטריצה הבאה:
A_{1}\cdot A_{2}=\begin{pmatrix}x & y\\
-y & x
\end{pmatrix}
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
x^{2}+y^{2}&=(a_{1}a_{2}-b_{1}b_{2})^{2}+(a_{1}b_{2}+a_{2}b_{1})^{2}\\&=\left[(a_{1}a_{2})^{2}-2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+(b_{1}b_{2})^{2}\right]+\left[(a_{1}b_{2})^{2}+2a_{1}a_{2}b_{1}b_{2}+(a_{2}b_{1})^{2}\right]\\&=(a_{1}a_{2})^{2}+(a_{1}b_{2})^{2}+(a_{2}b_{1})^{2}+(b_{1}b_{2})^{2}\\&=a_{1}^{2}(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})+b_{1}^{2}(a_{2}^{2}+b_{2}^{2})\\&=(a_{1}^{2}+b_{1}^{2})\cdot(a_{2}^{2}+b_{2})^{2}>0
\end{align*}
לכן קיבלנו A_{1}\cdot A_{2}\in G.
מאחר וכפל מטריצות הוא קיבוצי, נוכל להסיק כי תנאי הקיבוציות מתקיים.
נוכיח את תנאי קיום היחידה. יהי I_{2\times2}=\begin{pmatrix}1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}\in G. מאחר ולכל מטריצה M (ובפרט לכל A\in G) מתקיים M\cdot I=I\cdot M=M, נוכל להסיק כי אכן מתקיים תנאי קיום היחידה.
נותר להוכיח את תנאי קיום איבר הופכי. תחילה נוכיח כי המטריצה הבאה:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}} & \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\\
\frac{b}{a^{2}+b^{2}} & \frac{a}{a^{2}+b^{2}}
\end{pmatrix}
מקיימת A^{-1}\in G. נסמן x=\frac{a}{a^{2}+b^{2}} וגם y=\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}. לכן נקבל:
A^{-1}=\begin{pmatrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}} & \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\\
\frac{b}{a^{2}+b^{2}} & \frac{a}{a^{2}+b^{2}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x & y\\
-y & x
\end{pmatrix}
כמו כן, נשים לב כי מתקיים:
\begin{align*}
x^{2}+y^{2}&=\left(\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}+\left(\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\right)^{2}\\&=\frac{1}{(a^{2}+b^{2})^{2}}\cdot(a^{2}+b^{2})\\&=\frac{1}{a^{2}+b^{2}}>0
\end{align*}
קיבלנו כי A^{-1}\in G. עתה, נוכיח כי A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I:
\begin{align*}
&A\cdot A^{-1}=\begin{pmatrix}a & b\\
-b & a
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}} & \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\\
\frac{b}{a^{2}+b^{2}} & \frac{a}{a^{2}+b^{2}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a\cdot\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+b\cdot\frac{b}{a^{2}+b^{2}} & a\cdot\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}+b\cdot\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\\
-b\cdot\frac{a}{a^{2}+b^{2}}+a\cdot\frac{b}{a^{2}+b^{2}} & -b\cdot\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}+a\cdot\frac{a}{a^{2}+b^{2}}
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=I_{2\times2}\\&A^{-1}\cdot A=\begin{pmatrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}} & \frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\\
\frac{b}{a^{2}+b^{2}} & \frac{a}{a^{2}+b^{2}}
\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}a & b\\
-b & a
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\cdot a+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\cdot(-b) & \frac{a}{a^{2}+b^{2}}\cdot b+\frac{-b}{a^{2}+b^{2}}\cdot a\\
\frac{b}{a^{2}+b^{2}}\cdot a+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\cdot(-b) & \frac{b}{a^{2}+b^{2}}\cdot b+\frac{a}{a^{2}+b^{2}}\cdot a
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 & 0\\
0 & 1
\end{pmatrix}=I_{2\times2}
\end{align*}
קיבלנו A\cdot A^{-1}=A^{-1}\cdot A=I ולכן G מקיימת את תנאי קיום ההופכי.
סה"כ קיבלנו כי G חבורה, כנדרש.
כיצד אני צריך לגשת לסעיף ב’?