מציאת שיעורי נקודות בעזרת משוואת הישר ושיפוע

[borisov.zz]

במשולש ABC, ישר AD הוא תיכון לצלע BC. כמו כן, הצלע DE מקביל לצלע AB (ראו שרטוט). משוואת התיכון AD הינה y=-\frac{7}{3}x+2 ומשוואת הצלע AB הינה y=4x+2.
א. מצאו את שיעורי הנקודה A.
ב. שיפוע הישר עליו נמצאת הצלע BC הוא \frac{1}{5}.
ישר זה חותך את הציר האופקי בנקודה שבה x=9. מצאו את שיעורי הנקודות B ו-D.
שרטוט:

אשמח לעזרה עם סעיף ב’, לא מצליח לפתור אותו.

[marbd]

לטובת סעיף ב’, אפתור את סעיף א’ גם (אשמח אם פעם הבאה תוכל לפרסם את התשובות הסופיות של הסעיפים שפתרת כדי שלא נצטרך לפתור אותם מחדש).

סעיף א’
ידוע כי משוואת הישר של AD הינה y=-\frac{7}{3}x+2 ומשוואת הישר של AB הינה y=4x+2. שני הישרים עוברים בנקודה A ולכן נוכל למצוא אותה (שים לב כי לא ניתן להניח כי הנקודה A נמצאת על הציר האנכי, גם אם זה נכון):

\left\{\begin{matrix} y=-\frac{7}{3}x+2 & \\ y=4x+2 & \end{matrix}\right. \Rightarrow 4x+2=-\frac{7}{3}x+2\Rightarrow x=0

קיבלנו כי השיעור האופקי של הנקודה A הוא אפס. לכן, נוכל למצוא את השיעור האנכי:

y=4\cdot 0+2=2 \Rightarrow A(0,2)

סעיף ב’
ידוע כי שיפוע הישר BC הוא \frac{1}{5}. כמו כן, ידוע כי BC חותך את הציר האופקי בנקודה (9,0). לכן משוואת הישר BC הינה:

y-0=\frac{1}{5}(x-9) \Rightarrow y=\frac{1}{5}x-\frac{9}{5}

כעת, כדי למצוא את שיעורי הנקודה D, נשוואה בין משוואת הישר AD ו-BC:

\left\{\begin{matrix} y=-\frac{7}{3}x+2 & \\ y=\frac{1}{5}x-\frac{9}{5} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{1}{5}x-\frac{9}{5}=-\frac{7}{3}x+2 \Rightarrow x=1.5

נציב x=1.5 באחת המשוואות כדי למצוא את השיעור האנכי של הנקודה D:

y=-\frac{7}{3}\cdot 1.5+2=-1.5 \Rightarrow D(1.5,-1.5)

עתה, נמצא את שיעורי הנקודה B. לשם כך, נשוואה בין משוואת הישר AB ו-BC:

\left\{\begin{matrix} y=4x+2 & \\ y=\frac{1}{5}x-\frac{9}{5} & \end{matrix}\right. \Rightarrow \frac{1}{5}x-\frac{9}{5}=4x+2 \Rightarrow x=-1

נציב x=-1 באחת המשוואות כדי למצוא את השיעור האנכי של הנקודה B:

y=4\cdot(-1)+2=-2 \Rightarrow B(-1,-2)