יהיו W=\{(a,b,c)\,|\,a=c^2\} ו-V=\mathbb{R}^3. האם W הוא תת-מרחב של V?
כיצד עלי לגשת לשאלה הזאת?
תודה רבה
תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה W של המרחב הווקטורי V מעגל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:
- הקבוצה W אינה ריקה.
- הקבוצה W סגורה ביחס לחיבור, כלומר לכל u,v\in W מתקיים u+v\in W.
- הקבוצה W סגורה ביחס לכפל בסקלר, כלומר לכל v\in W ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda\cdot v\in W.
לכן כדי להוכיח כי W אינו תת-מרחב של V, עלינו לסתור את אחד הסעיפים.
יהיו v=(1,0,1) ו-u=(1,0,-1) ב-W. נבדוק את תנאי החיבור:
u+v=(1,0,-1)+(1,0,1)=(2,0,0)
מאחר ו-2\neq 0^2 נובע u+v\not\in W ולכן W אינו תת-מרחב של V.
לייק 1