אני צריך להוכיח או להפריך את הטענה הבאה - W=\{A\in V\,|\,tr(A)=0\} הוא תת-מרחב של מרחב המטריצות ה-n ריבועיות מעל \mathbb{R} אשר מסומן ב-M_{n\times n}.
אני מבין שצריך למצוא שתי מטריצות שאם נכפול בסקלר ונחבר אותן סכום האלכסון יהיה אפס, אבל איך בדיוק מתחילים?
כמו שהסברתי קודם, תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה W של המרחב הווקטורי V מעגל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:
- הקבוצה W אינה ריקה.
- הקבוצה W סגורה ביחס לחיבור, כלומר לכל u,v\in W מתקיים u+v\in W.
- הקבוצה W סגורה ביחס לכפל בסקלר, כלומר לכל v\in W ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda\cdot v\in W.
נוכיח כי W תת-מרחב של V=M_{n\times n}. במהלך ההוכחה נשתמש בשתי הנוסחאות הבאות - לכל A,B\in M_{n\times n} ו-\lambda \in \mathbb{F} מתקיים:
\begin{align*}
tr(A+B)&=tr(A)+tr(B)\\
tr(\lambda A)&=\lambda tr(A)
\end{align*}
תחילה, נוכיח כי הקבוצה W אינה ריקה. נתבונן על המטריצה הבאה:
A=\begin{pmatrix}
1 & 0\\
0 & -1
\end{pmatrix}
נחשב את העקבה של המטריצה A:
tr(A)=1+(-1)=0
קיבלנו כי העקבה של המטריצה A שווה לאפס ולכן A\in W, כלומר W אינה ריקה.
עתה, נוכיח כי W מקיימת את תנאי הסגירות ביחס לחיבור. יהיו A,B\in W שתי מטריצות. נוכיח כי מתקיים A+B\in W. מאחר ומתקיים A,B\in W נובע tr(A)=tr(B)=0. לכן נקבל:
tr(A+B)=tr(A)+tr(B)=0+0=0
לכן A+B\in W, משמע W מקיימת את תנאי החיבור.
כעת, נותר להוכיח כי W מקיימת את תנאי הסגירות ביחס לכפל בסקלר. יהיו A\in W ו-\lambda \in \mathbb{F}. נוכיח כי מתקיים \lambda A\in W. מאחר ומתקיים A\in W נובע tr(A)=0. לכן נקבל:
tr(\lambda A)=\lambda tr(A)=\lambda \cdot 0 = 0
לכן \lambda A\in W, משמע W מקיימת את תנאי הכפל בסקלר.
סה"כ קיבלנו כי W היא תת-חבורה של V.
לייק 1