אני מנסה להוכיח או להפריך את הטענה הבאה: W=\{p(x)\,|\,p(0)=1\} הוא תת-מרחב של מרחב הפולינומים מדרגה n אשר מסומן ב-V=P_n(x).
כיצד עלי לפתור את הבעיה?
כמו שכבר הסבירו לך בפוסטים הקודמים (וחבל שאתה לא מעלה ניסיון משלך, הפורום לא נועד לפתור לך את שיעורי הבית), תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה W של המרחב הווקטורי V מעגל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:
- הקבוצה W אינה ריקה.
- הקבוצה W סגורה ביחס לחיבור, כלומר לכל u,v\in W מתקיים u+v\in W.
- הקבוצה W סגורה ביחס לכפל בסקלר, כלומר לכל v\in W ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda\cdot v\in W.
נוכיח כי הקבוצה W אינה תת-מרחב של V. ברור כי הפולינומים p(x)=1 ו-q(x)=x+1 נמצאים ב-W (שכן p(0)=1 וגם q(0)=1). נשים לב כי מתקיים:
(p+q)(0)=(x+1+1)(0)=(x+2)(0)=0+2=2\neq1
לכן p+q\not\in W משמע W אינו תת-מרחב של V.
לייק 1