אני מנסה לוהכיח כי כל חבורה מסדר 45 איננה פשוטה. אני די בטוח שאני צריך להשתמש במשפטי סילו אבל אני לא בטוח כיצד. איך אני יכול להוכיח את הטענה?
תהא G חבורה מסדר 45. נשים לב כי מתקיים 45=5\cdot3^{2} ולכן ע"פ משפט סילו הראשון נובע כי קיימת ל-G תת-חבורה סילו-5 וגם תת-חבורה סילו-3. ע"פ משפט סילו השלישי נובע n_{5}|9 וגם n_{5}\equiv1\,(mod\,5). המספר היחידי שמקיים את זה הוא n_{5}=1. לכן תת-חבורה סילו-5 היא נורמלית. כמו כן, היא מסדר 5 ולכן לא טריוויאלית. סה"כ נוכל להסיק כי כל חבורה מסדר 45 איננה פשוטה, כנדרש.
2 לייקים