מהו המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים העוברים בנקודה \left( \frac{a}{2},0\right) ומקצים על ציר האנכי קטע בעך אורך a.
אני מנסה לפתור את הבעיה הזאת ולמצוא משוואה שמתארת את המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים אבל לא מצליח. התשובה הסופית צריכה להיות y^2=ax.
כיצד עלי לפתור את השאלה?
נשרטט את התרשים על מערכת צירים:
נסמן ב-O(x_{O},y_{O}) את מרכז המעגל המבוקש וב-R את רדיוס המעגל. האנך שיוצא ממרכז המעגל לציר האנכי חוצה את הקטע QM שהמעגל מקצה על הציר (אנך למיתר שיוצא ממרכז המעגל). אורך האנך NO הוא |x_{O}|. נשתמש במשפט פתגורס במשולש הישר זווית MNO:
MO^2=NO^2+NM^2 \Rightarrow R^2=(x_{O})^2+(0.5a)^2
מצד שני המרחק בין מרכז המעגל O לבין הנקודה הנתונה \left( \frac{a}{2},0 \right) גם הוא רדיוס המעגל ולכן נקבל:
R^2=\left( x_{O}-\frac{a}{2}\right)^2+(y_{O})^2
נשווה את שני הביטויים שקיבלנו ונקבל:
\left\{\begin{matrix}
R^2=\left( x_{O}-\frac{a}{2}\right)^2+(y_{O})^2 & \\
R^2=(x_{O})^2+(0.5a)^2 &
\end{matrix}\right. \begin{align*}
&\Rightarrow (x_{O})^2+(0.5a)^2 =\left( x_{O}-\frac{a}{2}\right)^2+(y_{O})^2\\
&\Rightarrow x_{O}^2+0.25a^2=x_{O}^2-2\cdot x_{O}\cdot 0.5\cdot a+0.25a^2+y_{O}^2\\
&\Rightarrow y_{O}^2=a\cdot x_{O}
\end{align*}
קיבלנו כי המקום הגיאומטרי של מרכזי המעגלים הוא פרבולה שמשוואתה y^2=ax.