מהנקודה P על היקף המעגל x^2+y^2=9. מעבירים ישר המאונך לציר האופקי שחותך את הציר בנקודה Q, וישר מאונך לציר האנכי שחותך את המעגל בנקודה L. מצאו את המקום הגיאומטרי של מפגש הישר QL עם הישר OP כאשר O היא ראשית הצירים.
נתקלתי עם השאלה הזאת ואני לא בטוח כיצד לפתור אותה.
קיימות מספר דרכים לפתור את השאלה. אני אפתור את השאלה בעזרת גיאומטריה.
נשרטט את התרשים על מערכת הצירים:
נסמן ב-M(x_{m},y_{m}) נקודה כללית על המקום הגיאומטרי המבוקש. מאחר וזוויות מתחלפות שוות בין ישרים מקבילים, נוכל להסיק כי מתקיים \measuredangle MLP = \measuredangle OQM וגם \measuredangle QOM = \measuredangle LPM. לכן לפי ז.ז (יחס הדמיון) נובע \triangle OMQ \sim \triangle PML. כמו כן הציר האנכי אנך ממרכז המעגל למיתר PL ולכן חוצה אותו משמע PL=|x_{p}|. לכן, נוכל להסיק ע"פ יחס הדמיון:
\frac{PL}{QO}=\frac{|2\cdot x_{p}|}{|x_{p}|}=2
לפיכך נובע היחס \frac{PM}{MO}=2. מכך נובע כי הנקודה M(x_{m},y_{m}) מחלקת את הקטע PO ביחס 1\,:\,2 ולכן שיעורי הנקודה M(x_{p},y_{p}) יהיו P(3x_{m},3y_{m}). נציב את שיעורי הנקודה הנ"ל במשוואת המעגל ונקבל את המשוואה הבאה:
(3x_{m})^2+(3y_{m})^2=9 \Rightarrow x^2+y^2+1
לכן, נוכל להסיק כי המקום הגיאומטרי המבוקש מתואר על ידי המשוואה x^2+y^2+1 והוא מעגל.