מציאת נקודות על היפרבולה

מצאו על ההיפרבולה \frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1 את הנקודות מימן לציר הנאכי, שמרחקן מן המוקד השמאלי הוא \sqrt{150}.
התחלתי ללמוד נושא חדש על ההיפרבולות. הנוסחאות נמצאות מולי אבל אני לא מצליח להבין כיצד עלי לפתור את השאלה. אשמח לעזרה.

נסמן את הנקודה המבוקשת ב-M(a,b). המוקד השמאלי נמצא בנקודה (-c,0). נשים לב כי מתקיים:

c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{24+12}=\sqrt{36}=6

נתון כי אורכו של המרחק בין הנקודה M לבין הנקודה (-6,0) הוא \sqrt{150} ולכן נקבל את המשוואה הראשונה (a+6)^+b^2=150. כמו כן, הנקודה M נמצאת על ההיפרבולה ולכן מקיימת את משוואת ההיפרבולה a^2-2b^2=24. נשווה את המשוואות:

\left\{\begin{matrix} (a+6)^2+b^2=150 & \\ a^2-2b^2=24 & \end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2(a+6)^2+2b^2=300 & \\ a^2-2b^2=24 & \end{matrix}\right.

נחבר את שתי המשוואות כך שנקבל:

\begin{align*} 2(a+6)^2+a^2=324&\Leftrightarrow 2a^2+24a+72+a^2=324\\ &\Leftrightarrow 3a^2+24a-252=0\\ &\Leftrightarrow a^2+8a-84=0\\ &\Leftrightarrow a^2+14a-6a-84=0\\ &\Leftrightarrow a(a+14)-6(a-14)=0\\ &\Leftrightarrow (a-6)(a+14)=0\\ &\Leftrightarrow a_{1,2}\in\{-14,6\} \end{align*}

נציב a_{1}=-14 במשוואה השנייה:

\begin{align*} (-14)^2-2b^2=24 &\Leftrightarrow 196-2b^2=24\\ &\Leftrightarrow b^{2}=86\\ &\Leftrightarrow b_{1,2}=\pm\sqrt{86}\ \end{align*}

נציב a=6 במשוואה השנייה:

\begin{align*} 6^2-2b^2=24 &\Leftrightarrow 36-2b^2=24\\ &\Leftrightarrow b^{2}=6\\ &\Leftrightarrow b_{1,2}=\pm\sqrt{6}\ \end{align*}

קיבלנו את הנקודות:

(-14,-\sqrt{86}),(-14,\sqrt{86}),(6,-\sqrt{6}),(6,\sqrt{6})

הנקודות שנמצאות מצד ימין של הציר האנכי הן (6,-\sqrt{6}) ו- (6,\sqrt{6}).