מצאו על ההיפרבולה \frac{x^2}{24}-\frac{y^2}{12}=1 את הנקודות מימן לציר האנכי, שמרחקן מן המוקד השמאלי הוא \sqrt{150}.
התחלתי ללמוד נושא חדש על ההיפרבולות. הנוסחאות נמצאות מולי אבל אני לא מצליח להבין כיצד עלי לפתור את השאלה. אשמח לעזרה.
נסמן את הנקודה המבוקשת ב-M(a,b). המוקד השמאלי נמצא בנקודה (-c,0). נשים לב כי מתקיים:
c=\sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{24+12}=\sqrt{36}=6
נתון כי אורכו של המרחק בין הנקודה M לבין הנקודה (-6,0) הוא \sqrt{150} ולכן נקבל את המשוואה הראשונה (a+6)^+b^2=150. כמו כן, הנקודה M נמצאת על ההיפרבולה ולכן מקיימת את משוואת ההיפרבולה a^2-2b^2=24. נשווה את המשוואות:
\left\{\begin{matrix}
(a+6)^2+b^2=150 & \\
a^2-2b^2=24 &
\end{matrix}\right. \Rightarrow \left\{\begin{matrix}
2(a+6)^2+2b^2=300 & \\
a^2-2b^2=24 &
\end{matrix}\right.
נחבר את שתי המשוואות כך שנקבל:
\begin{align*}
2(a+6)^2+a^2=324&\Leftrightarrow 2a^2+24a+72+a^2=324\\
&\Leftrightarrow 3a^2+24a-252=0\\
&\Leftrightarrow a^2+8a-84=0\\
&\Leftrightarrow a^2+14a-6a-84=0\\
&\Leftrightarrow a(a+14)-6(a-14)=0\\
&\Leftrightarrow (a-6)(a+14)=0\\
&\Leftrightarrow a_{1,2}\in\{-14,6\}
\end{align*}
נציב a_{1}=-14 במשוואה השנייה:
\begin{align*}
(-14)^2-2b^2=24 &\Leftrightarrow 196-2b^2=24\\
&\Leftrightarrow b^{2}=86\\
&\Leftrightarrow b_{1,2}=\pm\sqrt{86}\
\end{align*}
נציב a=6 במשוואה השנייה:
\begin{align*}
6^2-2b^2=24 &\Leftrightarrow 36-2b^2=24\\
&\Leftrightarrow b^{2}=6\\
&\Leftrightarrow b_{1,2}=\pm\sqrt{6}\
\end{align*}
קיבלנו את הנקודות:
(-14,-\sqrt{86}),(-14,\sqrt{86}),(6,-\sqrt{6}),(6,\sqrt{6})
הנקודות שנמצאות מצד ימין של הציר האנכי הן (6,-\sqrt{6}) ו- (6,\sqrt{6}).