היי @Alon, ברוך הבא לפורום SolX.
ערכתי בשבילך את הפוסט (בעיקר החלפתי את התמונה לכיתוב) כדי שבעתיד יהיה יותר קל לחפש פוסטים דומים 
אני אביא פתרון מלא לשאלה שמכיל מספר הצעות לפתרון. אתה מוזמן לעצור בכל שלב של הפתרון ולהמשיך במידה ואתה צריך. כמו כן, הינה מספר רמזים:
רמז ראשון: אם אתה מתעקש להוכיח את הזהות בעזרת אינדוקציה אז תשתמש בטענה הבאה:
לכל n\in\mathbb{N} ו-x\in\mathbb{R} מתקיים:
n<x<n+1 \Leftrightarrow \lfloor x\rfloor =n
רמז שני: אם אתה מעוניין להוכיח את הזהות בלי אינדוקציה (הוכחה הרבה יותר פשוטה) אז אתה יכול להשתמש בטענה הבאה - לכל n\in\mathbb{N} מתקיים \lfloor\sqrt{n^2}\rfloor=n ולהוסיף את הרמז הקודם.
פתרון מלא בעזרת אינדוקציה:
עלינו להוכיח כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:
\begin{align*}
\langle\sqrt{n^2-1}\rangle = \sqrt{n^2-1}-n+1 &\Rightarrow \left(\sqrt{n^2-1}\right)-\bigl\lfloor\sqrt{n^2-1}\bigr\rfloor = \sqrt{n^2-1}-n+1\\
& \Rightarrow \bigl\lfloor\sqrt{n^2-1}\bigr\rfloor = n-1
\end{align*}
בסיס האינדוקציה - נשים לב כי עבור n=1 מתקיים:
\left\{\begin{matrix}
L=\bigl\lfloor\sqrt{1^2-1}\bigr\rfloor = 0& \\
R=1-1=0 &
\end{matrix}\right. \Rightarrow L=R
הנחת האינדוקציה - נניח את נכונות הטענה עבור n\in\mathbb{N}, כלומר נניח כי מתקיים:
\bigl\lfloor\sqrt{n^2-1}\bigr\rfloor = n-1
צעד האינדוקציה - נוכיח כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:
\bigl\lfloor\sqrt{(n+1)^2-1}\bigr\rfloor = (n+1)-1 \Rightarrow \bigl\lfloor\sqrt{n^2+2n}\bigr\rfloor = n
קיימות שתי דרכים פשוטות להוכיח את צעד האינדוקציה. הראשונה מתבססת על טענת האינדוקציה והשנייה לא משתמשת בה.
הצעה ראשונה - ע"פ הנחת האינדוקציה, לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:
\bigl\lfloor\sqrt{n^2-1}\bigr\rfloor = n-1 \Rightarrow n-1<\sqrt{n^2-1}<n
האי-שוויון הנ"ל נכון לכל n\in\mathbb{N} ובפרט עבור n=m+1:
(m+1)-1<\sqrt{(m+1)^2-1}<(m+1) \Rightarrow m<\sqrt{m^2+2m}<m+1
נשים לב כי \sqrt{m^2+2m} חסום בין שתי מספרים עוקבים ולכן מתקיים:
\bigl\lfloor\sqrt{m^2+2m}\bigr\rfloor = m
נחליף בין n ו-m ונקבל את צעד האינדוקציה.
הצעה שנייה - ניתן לוותר על הנחת האינדוקציה. ברור כי לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:
n^2 < n^2+2n<n^2+2n+1 \Rightarrow n <\sqrt{n^2+2n}<(n+1)
כמו קודם, נשים לב כי \sqrt{n^2+2n} חסום בין שתי מספרים עוקבים ולכן מתקיים:
\bigl\lfloor\sqrt{n^2+2n}\bigr\rfloor = n
פתרונות נוספים:
אגב, אפשר להוכיח את הטענה בלי אינדוקציה בכלל.
הצעה ראשונה - מאחר ולכל n\in\mathbb{N} מתקיים \lfloor\sqrt{n^2}\rfloor=n נובע:
\begin{align*}
(n-1)^2<n^2-1<n^2 &\Rightarrow n-1<\sqrt{n^2-1}<n\\
&\Rightarrow \lfloor\sqrt{n^2-1}\rfloor=n-1
\end{align*}
מכאן נקבל את הזהות המבוקשת:
\langle\sqrt{n^2-1}\rangle = \sqrt{n^2-1}-n+1
הצעה שנייה - לכל n\in\mathbb{N} מתקיים:
\begin{align*}
n^2-2n+1<n^2-1<n^2 &\Rightarrow (n-1)^2<n^2-1<n^2\\
&\Rightarrow n-1<\sqrt{n^2-1}<n
\end{align*}
נשים לב כי \sqrt{n^2-1} חסום בין שתי מספרים עוקבים ולכן מתקיים:
\bigl\lfloor\sqrt{n^2-1}\bigr\rfloor = n-1 \Rightarrow \langle\sqrt{n^2-1}\rangle = \sqrt{n^2-1}-n+1
מקווה שמובן