עזרה בפתרון שאלה בטריגו

מתמטיקה
1

היי מה עניינים חברה, יש לי מבחן עוד יומיים ונתקעתי עם שאלה בטריגו טרפז ומעויין שלא הצלחתי לפתור.

השאלה
ABCD הוא טרפז (AB||CD) שבו הנקודה E על הבסיס הגדול כך ש-ABED מעוין.
נתון: BC=3.76cm, \angle ADC=50^{\circ} ו- \angle BCD=41.5^{\circ}.
מצאו את שטח הטרפז ABCD.

התשובה הנכונה: S=14.215cm

אשמח אם מישהו מהתותחים כאן יכול לצלם לי פתרון על דף עם דרך :slightly_smiling_face:
תודה לעוזרים

2

שלום וברוך הבא לפורום SolX!
מקווה שהצלחת לשרטט את השרטוט. נוסיף בניית עזר לציור - נוריד גובה BH מהנקודה B לבסיס הטרפז DC.
ידוע כי ABED מעויין ולכן AB=BE=ED=DA. כמו כן, במעויין הזוויות המקבילות שוות ולכן \angle ADE=\angle ABE=50^{\circ}. בטרפז, סכום זוויות סמוכות שווה ל-180^{\circ} ולכן נקבל:

\angle EBC = 180^{\circ} - \angle ABE - \angle BCD = 180^{\circ}-50^{\circ}-41.5^{\circ}=88.5^{\circ}

עתה, נסתכל על המשולש BCH. מאחר ו-BH הוא גובה, נוכל להסיק כי משולש זה הוא משולש ישר זווית. נתון BC=3.76cm וגם \angle ADC=50^{^{\circ}} לכן בעזרת טריגונומטריה נקבל:

BH=BC\cdot sin\angle BCD=3.76\cdot sin(41.5)\approx 2.491cm\\ CH=BC\cdot cos \angle BCD=3.76\cdot cos(41.5)\approx 2.816cm

כעת, נתבונן על המשולש EBH. שוב, מאחר ו-BH הוא גובה נובע כי משולש EBH משולש ישר זווית. לכן נקבל:

BE=\frac{BH}{sin\angle BEC}=\frac{2.491}{sin(50)}\approx 3.252cm\\ EH=BE\cdot cos \angle BEC = 3.252\cdot cos(50)\approx 2.09cm

כמו שאמרנו ABED מעויין ולכן AB=BE=DE=AD=3.252cm. לפיכך נקבל:

DC=DE+EH+HC=3.252+2.09+2.816=8.158cm

אי-לכך, נוכל לחשב את השטח של הטרפז ABCD:

S_{ABCD}=\frac{BH\cdot (AB+DC)}{2}=\frac{2.491\cdot(8.158+3.252)}{2}\approx 14.215cm