למען הסדר הטוב, תחילה נתחיל עם הגדרות:
- קומוטטיביות או חילופיות, היא תכונה של פעולות בינאריות - האופרטור \odot יקרא קומוטטיבי אם לכל a,b מתקיים a\odot b = b \odot a.
- אסוציאטיביות היא תכונה של פעולות בינאריות - האופרטור \odot יקרא אסוציאטיבי אם הוא מקיים את חוק הקיבוץ, כלומר אם לכל a,b,c מתקיים a\odot(b\odot c) = (a\odot b) \odot c.
קיימות דוגמאות רבות לפעולות על שלמים שהן כן קומוטטיביות אבל לא אסוציאטיבית. כך לדוגמה, נגדיר את האופרטור \odot בצורה הבאה:
\forall a,b\in\mathbb{N}, a\odot b= 2a+2b
פעולה זו היא קומוטטיבית שכן לכל a,b\in \mathbb{N} מתקיים:
a\odot b=2a+2b=2b+2a=b\odot a
פעולה זו אינה אסוציאטיבית, שכן למשל אם נבחר a=1, b=1 ו-c=3 נקבל מצד אחד:
(1\odot 2)\odot 3= (2\cdot 1 + 2\cdot 2) \odot 3 = 6 \odot 3 = 2\cdot 6 + 2\cdot 3 = 18
ואילו מצד שני נקבל:
1\odot (2\odot 3)= 1\odot (2\cdot 2+2\cdot 3) = 1\odot10=2\cdot 1+2\cdot 10=22
סה"כ נוכל להסיק כי מתקיים:
(1\odot 2)\odot 3\neq 1\odot (2\odot 3)
פעולה נוספת שהיא קוממטיבית אבל לא אסוציאטיבית הינה הפעולה הבאה:
\forall a,b\in\mathbb{N}, a\star b= 2^{a+b}
תנסה להסביר לעצמך למה (הדרך דומה לזו שהוצגה).
מקווה שמובן, בהצלחה 