אני לא מצליח להבין לגמרי איך אני פותר שאלות כאלו:
שאלה: נקבע v=\mathbb{R}^4. נסמן \{e_1,e_2,e_3,e_4\} את הבסיס הסטנדרטי של \mathbb{R}^4. לכן מתקיים:
Sp\{e_{1}-e_{4},e_{1}+e_{3}\}+Sp\{e_{2}+e_{3},2e_{1}+e_{3}+e_{4}\}=\{(a,b,b+c,c-a)\,:\,a,b,c\in\mathbb{R}\}
ניסיון שלי: זה הדרך שאני חושב עליה. הרעיון הוא לבטא את הספאנים ולבטא וקטור שהוא צירוף לינארי שלהם ולראות אם אפשר, בעזרת מטריצה, לקבל פתרון עבור השוואת האלמנטים:
x(e_1-e_4)+y(e_1+e_3)+z(e_2+e_3)+q(2e_1+e_3+e_4) \\ e_1=(1,0,0,0), e_2=(0,1,0,0)... \\\Rightarrow (x+y+2q,z,y+z+q,-x+q) =? (a,b,b+c,c-a) \\\begin{bmatrix}x & y & 0 & 2q & |a\\ 0 & 0& z & 0 & |b\\ 0 & y & z & q & |b+c\\ -x & 0 & 0 & q & |c-a\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & |a\\ 0 & 0 & 1 & 0 & |b\\ 0 & 1 & 1 & 1 & |b+c\\ -1 & 0 & 0 & 1 & |c-a\end{bmatrix}\Rightarrow \begin{bmatrix}1 & 1 & 0 & 2 & |a\\ 0 & 1 & 1 & 1 & |b+c\\ 0 & 0 & 1 & 0 & | b\\ 0 & 0 & 0 & 2 & |0\end{bmatrix} \\ \\\Rightarrow rank(A)=rank(A*)=n \\\Rightarrow \ single \ solution \\\Rightarrow equality \ exists
כלומר, אני מסיק כי וקיים פתרון, אז יש שוויון בין האגפים.
אבל הבנתי שיותר נכון להפריד את שני הספנים ולא לחבר אותם לוקטור אחד. אבל שוב, יוצא לי את אותו רעיון. ואף יש לעשות בעזרת הכלות.
אני קצת מתקשה להבין למה מה שעשיתי לא נכון ומה כן יש לעשות.
תודה רבה! 