דירוג מטריצה מעל שדה המספרים המרוכבים

שאלה: יהיו שני וקטורים w=(2-5i,7-i) ו-z=(1-2i,3+i) מעל \mathbb{C}^2. האם הוקטורים w ו-z תלויים לינארית?

ניסיון שלי: יהיו a,b\in\mathbb{C} סקלרים. ניסיתי לשים את הוקטורים במטריצה ולדרג אותה:

aw + bz = 0 \Rightarrow \begin{bmatrix}2-5i & 1-2i & |0\\ 7-i & 3+i & |0\end{bmatrix}

אבל, משום מה מסובך לי להתחיל לחשוב על איך מאפסים את השורה השנייה למשל, לפחות משום מה אני מסתבך עם זה. יש דרך אחרת, יותר חכמה לפתור את זה? או אולי איך מדרגים בצורה נוחה דברים בסגנון הזה?

תודה רבה! :slight_smile:

דירוג מטריצות מעל שדה המספרים המרוכבים הוא נושא טכני נטו, כלומר אתה צריך לנסות לפתור כמה שיותר מטריצות כאלה כדי להבין את החשיבה. עם זאת, הוא נושא קל להבנה. צריך פשוט לבלוע את הגלולה ולגשת למלאכה.

יהיו a,b\in\mathbb{C} סקלרים כך שמתקיים a\bar{w}+b\bar{z}=\bar{0}. נציב את הוקטורים:

a(2-5i,7-i)+b(1-2i,3+i)=\bar{0}

אנסה להסביר לך את דרך המחשבה. לשם כך, נתבונן על המטריצה הבאה שנצטרך לדרג:

\begin{bmatrix}2-5i & 1-2i\\ 7-i & 3+i \end{bmatrix}

אם יש ברשותינו את המטריצה הבאה: (כאשר a,c\neq 0)

\begin{bmatrix}a & b\\ c & d \end{bmatrix}

אז נרצה לבצע את הפעולה R_{2} \to R_2-\frac{c}{a}R_1 כי אז נקבל את המטריצה הבאה:

\begin{bmatrix}a & b\\ c & d \end{bmatrix} \overset{R_{2}\to R_{2}-\frac{c}{a}R_{1}}{\longrightarrow}\begin{bmatrix}a & b\\ 0 & d-\frac{c}{a}b \end{bmatrix}

לכן עבור המטריצה שאנו מעוניינים לדרג, נרצה לבצע את הפעולה R_{2} \to R_2-\frac{7-5i}{2-5i}R_1. בעקבות פעולה זו נקבל בתא (2,1) אפס. הסיבוך נוצר כאשר נרצה לדעת איזה ערך מספרי נמצא בתא (2,2). הדרך הנכונה לפתור את זה היא לפשט תחילה את הביטוי \frac{7-5i}{2-5i}. הטריק הוא לכפול ולחלק בצמוד של המכנה:

\frac{7-5i}{2-5i}=\frac{7-5i}{2-5i}\cdot \frac{2+5i}{2+5i}=\frac{14+35i-10i+25}{2^2-(5i)^2}=\frac{39+25i}{4+25}=\frac{1}{29}\left(39+25i\right)

נפטרנו מהחלק המדומה במכנה וכעת החישובים יהיו פשוטים יותר. עם זאת, היינו רוצים גם להפיטר גם מה-29 במכנה כדי שהם יהיו עוד יותר פשוטים. לכן נתקן את הפעולה להיות:

R_{2} \to 29\cdot R_2-29\cdot\frac{7-5i}{2-5i}R_1

כתוצאה מכך בתא (2,1) של המטריצה עדיין נקבל אפס (תוודא זאת). עתה נוכל לחשב את הערך בתא (2,2):

(1-2i)-(39+25i)\cdot(3+i)=-13-77i

קיבלנו את המטריצה הנחמדה הבאה:

\begin{bmatrix}2-5i & 1-2i\\ 0 & -13-77i \end{bmatrix}

כאן ניתן לעצור שכן הגענו למטריצת מדרגות ולכן ניתן להסיק כי היא שקולה ל-I. עם זאת, ניתן להמשיך באותו אופן (כדי להסביר את הנקודה יותר טוב) - נרצה לקבל אפס בתא (1,2). לכן נבצע את הפעולה הבאה (ביטלתי את המינוסים):

R_{1}\to R_{1}+\frac{13+77i}{1-2i}R_{2}

עם זאת, הפעם אין צורך לפשט את הביטוי שכן רק עמודה שנייה של המטריצה מושפעת מהמקדם (בתא (2,1) יש אפס ולכן הביטוי מתאפס). לכן קיבלנו את המטריצה הבאה:

\begin{bmatrix}2-5i & 0\\ 0 & -13-77i \end{bmatrix}

והיא כמובן שקולה למטריצת היחידה I. סה"כ קיבלנו a=0 ו-b=0 משמע וקטורים בת"ל.
מקווה שמובן, בהצלחה :slight_smile:

לייק 1