שלום לכולם, אני מנסה למצוא את הגבול של הבא:
\lim_{x\to\infty}\frac{5(x-1)(2x-3)-(3x+1)^2}{(4x-1)^2-3(x-4)(2x+5)}
אשמח בבקשה לדרך פתרון.
פעם הבאה בבקשה תעלה ניסיון מינימלי שמסביר בדיוק איפה נתקעת (כי זאת בדיוק אותה שאלה כמו הקודמת ששאלת). בכל מקרה, הפתרון הוא פשוט לפתוח את הסוגריים ולשחק עם הביטויים:
\begin{align*}
\lim_{x\to\infty}\frac{5(x-1)(2x-3)-(3x+1)^{2}}{(4x-1)^{2}-3(x-4)(2x+5)}&=\lim_{x\to\infty}\frac{5\cdot(2x^{2}-5x+3)-(9x^{2}+6x+1)}{(16x^{2}-8x+1)-3\cdot(2x^{2}-3x-20)}\\&=\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}-31x+14}{10x^{2}+x+61}=\lim_{x\to\infty}\frac{1-\frac{31}{x}+\frac{14}{x^{2}}}{10+\frac{1}{x}+\frac{61}{x^{2}}}\\&=\frac{1-0-0}{10+0+0}=\frac{1}{10}
\end{align*}
שים לב כי במעבר האחרון בגבול הוצאתי במונה ובמכנה \frac{1}{x^2} וצמצמתי אותם.
מקווה שמובן, בהצלחה.