שלום לכולם, אני מנסה לפתור את השאלה הבאה:
הוכיחו ישירות מהגדרת הגבול בלשון \epsilon,N:
\lim{n\to\infty}\sqrt{\frac{4n+1}{n}}=2
כיצד עלי לפתור את השאלה?
לפי הגדרת הגבול.
אנחנו רוצים למצוא ביטוי ל N, כך שלכל \varepsilon > 0 , יהיה קיים N, כך שלכל n>N, יתקיים:
\bigg|\sqrt{\frac{4n+1}{n}} - 2\bigg| < \varepsilon
אבל שים לב שהביטוי בתוך הערך מוחלט בהכרח חיובי ולכן אפשר לבטל את הערך מוחלט.
\sqrt{\frac{4n+1}{n}} - 2 < \varepsilon
כעת אפשר להעביר אגפים, להעלות בריבוע כדי לבטל את השורש ולמצוא איזה n צריך להיות לבחור כדי שתתקיים הדרישה שלנו.