שלום לכולם, אני מנסה לפתור את מערכת המשוואות הבאה:
\left\{\begin{matrix}
-2x_{1}+6x_{2}=8 & \\
3x_{1}-9x_{2}=-12 &
\end{matrix}\right.
אני די מסתבך ולא מבין את הקונספט. אשמח, אם אפשר בבקשה, הסבר מפורט כי אני די חדש בתחום.
אני מניח שאתה יודע כיצד לפתור מערכת משוואות בצורה ישירה או בעזרת מטריצה. כמו כן, אני מניח שהבעיה היא שניסית לפתור את מערכת המשוואות וגילית שמשוואה אחת מאפסת את השנייה ואינך יודע כיצד להמשיך. זהו אכן המצב, כלומר אם נכפול את המשוואה הראשונה ב--1.5 נקבל בדיוק את המשוואה השנייה. במילים אחרות, אם נכפול את המשוואה -2x_1+6x_2=8 ב--1.5 נקבל 3x_1-9x_2=-12 משמע שתי המשוואות שקולות.
פתרון של מערכת משוואות הוא אוסף כל הנקודות המקיימות את המשוואות. לכן פתרון מערכת המשוואות במקרה שלנו הוא כל הנקודות (x_1,x_2) המקיימות את המשוואה הראשונה (או השנייה כמובן שכן הן שקולות). לפיכך נוכל להסיק כי אוסף כל הנקודות ניתן לתיאור באופן הבא:
A=\{(x_1,x_2)\,:\,-2x_1+6x_2=8\}
נחלק את המשוואה ב-2 כך שנקבל את התיאור הבא לקבוצה:
A=\{(x_1,x_2)\,:\,-x_1+3x_2=4\}
כעת, נביע את x_1 בעזרת x_2 ונחליף את x_2 ב-x:
A=\{(3x-4,x)\,:\,x\in\mathbb{R}\}
קיבלנו כי פתרון מערכת המשוואות הוא אוסף כל הנקודות מהצורה (3x-4,x) כאשר x\in\mathbb{R}. כך לדוגמה, הנקודה (-1,1) (הצבתי x=1) נמצאת באוסף זה שכן מתקיים:
(-2)\cdot (-1)+6\cdot1=8
לכן פתרון המערכת הוא הקבוצה A שקיבלנו.