Alon
1
נתונה השאלה הבאה - יהיו U_1 ו-U_2 תת-מרחבים של \mathbb{R}_{4}[x] המוגדרים על-ידי:
\begin{align*}
U_{1}&=Sp\{x^3+2x^2+3x+6,4x^3-x^2+3x+6,5x^3+x^2+6x+12\}\\
U_{2}&=Sp\{x^3-x^2+x+1,2x^3-x^2+4x+5\}
\end{align*}
מצאו בסיס ומימד עבור U_1, U_2 ו-U_1+U_2.
איך אני מוצא בסיס כלומר קבוצה בת"ל של פולינומים שפורשת את התת-מרחב U_1?
תודה 
Alon
2
טוב כבר פתרתי אז אענה לעצמי אם מישהו יצטרך בעתיד.
נתונה בשאלה הקבוצה הפורשת של U_1. ניקח את הקואורדינטות של הקבוצה הזו לפי הבסיס הסטנדרטי ונשים במטריצה:
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 \\
4 & -1 & 3 & 6 \\
5 & 1 & 6 & 12
\end{pmatrix}
נדרג את המטריצה וכך נמצא את הוקטורים הבתל.
\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 6 \\
0 & -9 & -9 & -18 \\
0 & 0 & 0 & 0
\end{pmatrix}
אלו הוקטורים המייצגים את הקבוצה שהיא בסיס ל-U_1 לפי קואורדינטות סטנדרטיות.
אז יש כאן שני וקטורים שהם בת"ל ונחזיר אותם לצורה של פולינום וכך נקבל את הבסיס ל-U_1.