מציאת איבר ראשון בסדרה חשבונית

[Shaines]

אהלן, אני תקוע בתרגיל הבא בסדרות כשבוע ומעלה. התרגיל:

בסדרה חשבונית ישנם 2n-1 איברים.
סכום n האיברים הראשונים הוא 760 וסכום n האיברים האחרונים הוא 1960.
מצאו את n אם ידוע כי האיבר הראשון בסדרה הוא 10.

ניסיון שלי - ניסיתי מספר פתרונות, אך האחרון זה מה שיצא:

אני מודע שניתן לפתור שאלה כזאת בעזרת שתי דרכים - הדרך הראשונה בעזרת חיסור סכומים כמו שניסיתי והדרך השנייה היא פשוט להציב את a_n במקום a_1, אבל בדרך זו אני מסתבך אז אשמח בבקשה לעזרה לפי הדרך הראשונה.

[Gilad]

אני לא כל כך בטוח איפה טעית בפתרון אבל כאשר ישנה הזדמנות לוותר על משוואות ארוכות, עדיף לקחת אותה. כמו כן, במקום לפתוח את כל הסוגריים, נסה למצוא מקדמים משותפים שאתה יכול להוציא מחוץ לסוגרים. בכל מקרה, להלן מסופק פתרון מלא לשאלה:

תהא a_n סדרה חשובנית שמקיימת את נתוני השאלה. נסמן ב-d את הפרש הסדרה.
ידוע כי סכום n האיברים הראשונים של הסדרה החשובנית הוא 760 ולכן S_n=760.
כמו כן, ידוע כי סכום n האיברים האחרונים הוא 1960. סכום n האיברים האחרונים הוא בעצם ההפרש בין הסכום של 2n-1 האיברים הראשונים ובין הסכום של n-1 האיברים האחרונים שכן מתקיים:

(2n-1)-(n-1)=2n-1-n+1=n

מאחר ונתון כי סכום n האיברים האחרונים הוא 1960 נובע:

S_{2n-1}-S_{n-1}=1960

במקום להיעצר כאן ולהתחיל לפתור משוואות ארוכות, אפשר להמשיך את חוט המחשבה הנ"ל ולשים לב כי מתקיים:

S_n=S_{n-1}+a_n

נציב במשוואה הקודמת ונקבל:

S_{2n-1}-S_{n}+a_n=1960 \Rightarrow S_{2n-1}+a_n=1200

דרך פעולה זו חוסכת משחקים מיותרים עם משתנים.
אם בכל זאת אתה מעדיף ללכת בדרך שלך אז נפתח את המשוואות:

\begin{align*} \begin{cases} \frac{n}{2}\left(2\cdot a_{1}+(n-1)d\right)=760\\ \frac{2n-1}{2}\left(2\cdot a_{1}+((2n-1)-1)d\right)-\frac{n-1}{2}\left(2\cdot a_{1}+((n-1)-1)d\right)=1960 \end{cases} &\Rightarrow \begin{cases} \frac{n}{2}\left(2\cdot10+(n-1)d\right)=760\\ \frac{2n-1}{2}\left(2\cdot10+(2n-2)d\right)-\frac{n-1}{2}\left(2\cdot10+(n-2)d\right)=1960 \end{cases} \\&\Rightarrow \begin{cases} \frac{n}{2}(20+(n-1)d)=760\\ \frac{2n-1}{2}\left(20+(2n-2)d\right)-\frac{n-1}{2}\left(20+(n-2)d\right)=1960 \end{cases} \\&\Rightarrow \begin{cases} 20n+n(n-1)d=1520\\ 20(2n-1)+(2n-1)(2n-2)d-20(n-1)-(n-1)(n-2)d=3920 \end{cases} \\&\Rightarrow \begin{cases} 20n+n(n-1)d=1520\\ 20(2n-1-(n-1))+d(n-1)(2(2n-1)-(n-2))=3920 \end{cases} \end{align*}

שים לב כי במעבר האחרון, במשוואה השנייה ביצעתי שתי פעולות - הוצאת גורם משותף 20 והוצאת גורם משותף d(n-1). לגבי הפעולה השנייה, שים לב כי מתקיים 2n-2=2(n-1).
נמשיך לפרק:

\begin{cases} 20n+n(n-1)d=1520\\ 20(2n-1-(n-1))+d(n-1)(2(2n-1)-(n-2))=3920 \end{cases}\Rightarrow \begin{cases} 20n+n(n-1)d=1520\\ 20n+3n(n-1)d=3920 \end{cases}

נכפול את המשוואה הראשונה ב-3 כך שנקבל:

\begin{cases} 60n+3n(n-1)d=4560\\ 20n+3n(n-1)d=3920 \end{cases}

נחסר את המשוואה השנייה מהראשונה כך שנקבל:

\left ( 60n+3n(n-1)d\right )-\left ( 20n+3n(n-1)d \right )=4560-3920\Rightarrow 40n= 640 \Rightarrow n=16

לכן התשובה היא 16.
מקווה שמובן.