אפיון של מטריצות מתחלפות

מתמטיקה
1

נתונה השאלה הבאה - מטריצות A ו-B נקראות מטריצות מתחלפות אם מתקיים AB=BA.
אפיינו את כל המטריצות \begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix} המתחלפות עם המטריצה \begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}. כלומר מצאו את הצורה הכללית של המטריצות המתאימות \begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}. אילו יחסים מתקיימים בין הפרמטרים a,b,c,d?
אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל. הצלחתי להגיע לביטוי הבא:

\begin{pmatrix}2a & a+b\\ 2c & c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+c & 2b+d\\ c & d \end{pmatrix}

אולם נתקעתי ולכן אשמח לעזרה.

2

ע"פ ההגדרה, שתי מטריצות A ו-B הן מתחלפות אם מתקיים AB=BA.
לכן נרצה לבדוק, עבור אילו a,b,c,d מתקיים:

\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}\begin{pmatrix}2 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}

לכן נקבל:

\begin{pmatrix}2a & a+b\\ 2c & c+d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}2a+c & 2b+d\\ c & d \end{pmatrix}

נעביר אגפים:

\begin{pmatrix}2a & a+b\\ 2c & c+d \end{pmatrix}-\begin{pmatrix}2a+c & 2b+d\\ c & d \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

נחסיר את המטריצות כך שנקבל:

\begin{pmatrix}-c & a-b-d\\ c & c \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix}

סה"כ קיבלנו את מערכת המשוואות הבאה:

\begin{cases} -c=0\\ a-b-d=0\\ c=0\\ c=0 \end{cases}\Rightarrow\begin{cases} a=b+d\\ c=0 \end{cases}

לכן ניתן לאפיין את המטריצה A בצורה הבאה:

\left\{ \begin{pmatrix}a & b\\ c & d \end{pmatrix}\,:\,a,b,c,d\in\mathbb{R}\right\} =\left\{ \begin{pmatrix}b+d & b\\ 0 & d \end{pmatrix}\,:\,b,d\in\mathbb{R}\right\}