בשאלה 4 הם ביקשו למצוא את המטריצות ההפוכות (אם קיימות) למטריצה:
\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
הסתדרתי עם שאלה 4.
בשאלה 5 הם מבקשים לפתור את מערכת המשוואות הבאה, תוך שימוש בשאלה 4:
\begin{cases}
x+3y=1\\
2y+z=2\\
-x-2z=-3
\end{cases}
אשמח להסבר למה הכוונה בלהשתמש בשאלה 4 כדי לפתור את מערכת המשוואת הנתונה.
תודה רבה.
Ben
2
נסמן את המטריצה הנתונה בשאלה 4 ב-A.
תחילה נשים לב כי מערכת המשוואות ההומוגנית הנתונה בשאלה 5, מתאימה למטריצה הנתונה בשאלה 4. כלומר מתקיים:
\begin{cases}
x+3y=0\\
2y+z=0\\
-x-2z=0
\end{cases} \Rightarrow
\begin{pmatrix}1 & 0 & 3\\
0 & 2 & 1\\
-1 & 0 & -2
\end{pmatrix}
שים לב כי אם מתקיים:
A\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}
אזי נוכל להסיק כי מתקיים:
\begin{pmatrix}x \\ y \\ z\end{pmatrix} = A^{-1}\begin{pmatrix}1 \\ 2 \\ -3\end{pmatrix}
המטריצה ההופכית שחישבת בשאלה 4 הינה:
A^{-1}=0.5\begin{pmatrix}-4 & 0 & -6\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}
לכן נציב ונקבל:
\begin{pmatrix}x\\
y\\
z
\end{pmatrix}=A^{-1}\begin{pmatrix}1\\
-2\\
3
\end{pmatrix}=0.5\begin{pmatrix}-4 & 0 & -6\\
-1 & 1 & -1\\
2 & 0 & 2
\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\
2\\
-3
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\
2\\
-2
\end{pmatrix}
לכן פתרון מערכת המשוואות הינו:
\begin{cases}
x=7\\
y=2\\
z=-2
\end{cases}