הסבירו מדוע הפונקציה f(x)=\sqrt{2\sin x} מוגדרת בתחום 0\leq x\leq\pi?
ניסיון שלי:
לכל x מתקיים 2\sin x \geq 0. נחלק ב-2 ונקבל \sin x\geq 0. לכן מתקיים x\geq \pi k, משמע x\geq 0.
האם הניסיון תקין? האם הוכחתי שהיא מוגדרת לכל איקס? ראיתי איכשהו שאפשר להראות את הגרף של y=\sin x ומשם להראות שזה חיובי עד פאי ראשון ולכן בגלל שהיא חיובית ולא שלילית הפונקציה, היא גם מוגדרת לכל איקס.
האם חייב להסביר ככה? כמובן שיותר פירוט ופורמליות (עם הגרף). אולם, בקשר לניסיון שלי, הוא תקין?
תודה מראש על העזרה.
תחום ההגדרה של \sqrt{y} כאשר y\in \mathbb{R} הוא y\geq 0.
לכן, עבור הפונקציה \sqrt{2\sin x}, תחום ההגדרה הוא 2\sin x\geq 0. נחלק ב-2 כך שנקבל \sin x\geq 0.
כדי לפתור אי-שוויון טריגונומטרי בתחום מסוים נבצע את השלבים הבאים:
נהפוך את סימן אי השוויון לסימן שוויון ונפתור את המשוואה המתקבלת.
נסדר את כל הפתרונות על ציר מספרים ונבחר ערך בכל תחום.
נציב את הערכים באי השוויון המקורי. אם מתקבל פסוק אמת אז תחום זה מהווה פתרון של אי השוויון. אחרת, אם מתקבל פסוק שקר אז תחום זה אינו פתרון של אי השוויון.
נרכז את כל התחומים ונכתוב את הפתרון המלא.
הערה - במידה והמשוואה אינה מוגדרת עבור ערך מסוים הערך הזה מוכנס גם לציר המספרים.
לכן, נעקוב אחרי השלבים. השלב הראשון הוא להפוך את סימן האי-שוויון לסימן שוויון ולפתור את המשוואה. המשוואה המתקבלת הינה \sin x=0 והפתרון שלה הינו x=\pi k כאשר k\in \mathbb{Z}. לכן, התחומים הם \pi (k-1) \leq x \leq \pi k לכל k\in \mathbb{Z}.
כדי לבדוק האם הפונקציה מוגדרת בתחום 0\leq x\leq \pi (הצבנו k=1), נציב x=\frac{\pi}{2} נקבל:
\sin\left(\frac{\pi}{2}\right) = 1 \geq 0
קיבלנו פסוק אמת ולכן הפונקציה f(x) מוגדרת בתחום 0\leq x\leq \pi.
שם לב כי ניתן להכליל את ההוכחה ולהראות כי לכל x\in \mathbb{R}, הפונקציה מוגדרת בתחום 2\pi k \leq x \leq 2\pi k + \pi.