שלום לכולם, אשמח לעזרה עם השאלה הבאה:
נתונה סדרה x_n המוגדרת בצורה הבאה:
x_{n}=1+\frac{n}{n+1}\cos\left(\frac{n\pi}{2}\right)
כיצד למצוא את כל הגבולות החלקיים של הסדרה הנתונה?
תודה רבה.
הסדרה \frac{n}{n+1} מתכנסת ל-1. לכן כל תת-סדרה סדרה שלה מתכנסת ל-1.
עתה, נתבונן על \cos\left(\frac{n\pi}{2}\right). נשים לב כי עבור n=1,2,3,4 נקבל:
\cos\left(\frac{\pi}{2}\right), \cos(\pi), \cos\left(3\frac{\pi}{2}\right), \cos(2 \pi)
לאחר מכן, הערכים חוזרים (שכן קוסינוס מחזורית). לכן הערכים האפשריים הם 0,\pm1.
לפיכך, הסדרה x_n מכילה שלוש תת-סדרות:
\begin{align*}
\lim_{n_{1}\to\infty}x_{n_{1}}&=\lim_{n_{1}\to\infty}\left(1+\frac{n_{1}}{n_{1}+1}\cdot0\right)=1\\\lim_{n_{1}\to\infty}x_{n_{2}}&=\lim_{n_{2}\to\infty}\left(1+\frac{n_{2}}{n_{2}+1}\cdot1\right)=2\\\lim_{n_{1}\to\infty}x_{n_{3}}&=\lim_{n_{3}\to\infty}\left(1+\frac{n_{3}}{n_{3}+1}\cdot(-1)\right)=0
\end{align*}