בדיקה האם קבוצה היא תת-מרחב של מרחב וקטורי של פונקציות

[barshix]

שלום, ברשותי השאלה הבאה:

יהי V המרחב הוקטורי של כל הפונקציות f\, :\, \mathbb{R}\to\mathbb{R}. אילו מהקבוצות הבאות מהוות תת-מרחב של V?
א. קבוצה V_1=\{f\in V\, :\,f(2)=f(3)\}.
ב. קבוצה V_2=\{f\in V\,:\,\forall x\in\mathbb{R}, f(x^2)=(f(x))^2\}.
ג. קבוצה V_3=\{f\in V\,:\,\forall x\in\mathbb{R}, f(-x)=f(x)\} (אוסף הפונקציות הזוגיות).
ד. קבוצה V_4=\{f\in V\,:\,\forall x\in\mathbb{R}, f(-x)=-f(x)\} (אוסף הפונקציות האי-זוגיות).

האם אפשר לקבל עזרה בשאלה הנ"ל בסעיפים ב,ג,ד?
תודה רבה

[Gilad]

תת-מרחב של מרחב וקטורי כלשהו הוא תת-קבוצה שלו שמהווה בעצמה מרחב וקטורי. תת-מרחב חייב להיות מעל אותו שדה של המרחב הווקטורי והפעולות בו חייבות להיות אותן פעולות של המרחב הווקטורי. כדי לבדוק שתת-קבוצה W של המרחב הווקטורי V מעל השדה \mathbb{F} מהווה מרחב וקטורי, די לבדוק את הפרטים הבאים:

• קבוצה W אינה ריקה. כלומר קיים v\in V המקיים v\in W.
• קבוצה W סגורה ביחס לחיבור. כלומר לכל u,v\in W מתקיים u+v\in W.
• קבוצה W סגורה ביחס לכפל בסקלר. כלומר לכל v\in W ו-\lambda\in\mathbb{F} מתקיים \lambda \cdot v\in W.

נתחיל עם הקבוצה V_2 ונבדוק האם היא תת-מרחב של V. הקבוצה V_2 אינה תת-מרחב של V ולכן נפריך בעזרת דוגמה נגדית. נגדיר f_1(x)=1 ו-f_2(x)=x. ברור כי f_1,f_2\in V_2. נראה כי גם החיבור מקיים זאת:

(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)=x+1\in V_2

עם זאת, נשים לב כי מתקבלת סתירה. נגדיר f_3=x+1. נראה כי מתקיים f_3(x^2)\neq (f_3(x))^2 למרות שמתקיים f_3\in V_2. נשים לב כי מתקיים:

f_3(x^2)=x^2+1\neq (x+1)^2=(f_3(x))^2

קיבלנו סתירה ולכן הקבוצה V_2 אינה תת-מרחב של V.
כעת, נתבונן על הקבוצה V_3. נוכיח כי V_3 תת-מרחב של V. תחילה נשים לב כי V_3 אינה ריקה שכן מתקיים:

f(0)=f(-0) \Rightarrow f(0)\in V_3

יהיו f_1,f_2\in V_3. נשים לב כי מתקיים:

(f_1+f_2)(x)=f_1(x)+f_2(x)=f_1(-x)+f_2(-x)=(f_1+f_2)(-x)

הראנו כי מתקיים תנאי החיבור. נותר להראות את תנאי הכפל בסקלר.
יהי f\in V_3 ו-\lambda \in \mathbb{F} סקלר כלשהו. נשים לב כי מתקיים:

(\lambda \cdot f)(x)=\lambda \cdot f(x)=\lambda \cdot f(-x)=(\lambda\cdot f)(-x)

הצלחנו להראות את קיום תנאי הכפל בסקלר. מאחר ושלושת התנאים מתקיימים נובע כי הקבוצה V_3 מהווה תת-מרחב של V.
תוכל לעשות אותו דבר עבור V_4?
בהצלחה