חישוב הסתברות בעזרת קירוב הפואסוני להתפלגות בינומית

[Ben]

חברת אינטרנט קטנה משרתת 20,000 לקוחות בכל יום. הסיכוי שלקוח מסוים פונה עם פניה דחופה ביום מסוים שווה ל-0.0001 ללא תלות בפניות קודמות של אותו הלקוח. הניחו גם שאין תלות בין הפניות של הלקוחות השונים. החברה מסוגלת לטפל ב-2 פניות דחופות ביום לכל היותר. אם ביום מסוים יש יותר מ-2 פניות דחופות אז היא נאלצת לבקש תמיכה מחברת האם ומקבלת קנס.
בהינתן שהפעם השנייה שבה החברה קיבלה קנס קרתה אחרי היום השני, מהי ההסתברות שהיא תקבל קנס בפעם השנייה ביום החמישי?

אשמח לעזרה עם השאלה הנ"ל. ניסיתי להשתמש בהתפלגות הבינומית אבל אני לא מצליח לחשב את ההסתברות. התשובה אמורה לצאת בערך 0.14.

[Gilad]

נגדיר משתנה מקרי Y לייצג את מספר הימים עד קבלת הקנס השני כולל. כמו כן, נגדיר את X_{i} להיות מספר הפניות הדחופות ביום ה-i. ניתן לראות כי Y\sim NBin(2,p) כאשר p הינה ההסתברות שהחברה תקבל קנס ביום כלשהו, כלומר p=P(X_{i}\geq3). נשים לב כי מתקיים X_{i}\sim Bin(20,000,0.0001) וגם \lambda=n\cdot p=20000\cdot0.0001=2 ולכן נוכל להשתמש בקירוב הפואסוני להתפלגות הבינומית:

\begin{align*} p&=P(X_{i}\geq3)=1-P(X_{i}=0)-P(X_{i}=1)-P(X_{i}=2)\\&=1-\frac{e^{-2}\cdot2^{0}}{0!}-\frac{e^{-2}\cdot2^{1}}{1!}-\frac{e^{-2}\cdot2^{2}}{2!}=1-\frac{5}{e^{2}}\approx0.32332 \end{align*}

לכן Y\sim NBin(2,0.32332). אנו מחפשים את ההסתברות שהחברה קיבלה קנס בפעם השנייה ביום החמישי, בהינתן שהפעם השנייה שקיבלה קנס קרתה באחרי היום השני ולכן נקבל (נשתמש בהסתברות מותנית):

P(Y=5|Y>2)=\frac{P(Y=5,Y>2)}{P(Y>2)}=\frac{P(Y=5)}{1-P(Y=2)}=\frac{p\cdot{5 \choose 1}pq^{3}}{1-p^{2}}=\frac{4p^{2}q^{2}}{p+1}\approx0.14

בהצלחה