נתחיל מסעיף ב’ - בדיוק m קרונות מלאים. ע"פ עקרון הכלה והפרדה נוכל להסיק כי מתקיים:
עולם: כל הסידורים (החוקיים והלא חוקיים) של הלידים במושבים של הקרונות. קיימים 4\cdot20=80 מושבים ברכבת. מתוכם נבחר 60 מקומות שנושיב בהם את ה-60 הילדים. לפיכך נקבל:
W(0)=60!\cdot\tbinom{80}{60}
תכונות: יהיו p_{i} כאשר 1\leq i\leq20 תכונות רעות. נגדיר את התכונה ה-i לייצג מצב שבו הקרון ה-i מלא.
יעד: עלינו למצוא את E(m) כאשר m מהווה את מספר הקרונות המלאים:
נניח כי הקרון ה-i מלא, כלומר הוא מכיל 4 ילדים, לכן עלינו להושיב 60-4=56 ילדים ב- 20-1=19 קרונות כאשר כל קרון מכיל 4 מושבים, כלומר סה"כ 4\cdot19=76 מושבים ריקים שניתן להושיב עליהם את הילדים. לכן מספר האפשרויות הינו:
W(p_{i})=60!\cdot\tbinom{(20-1)\cdot4}{60-4}=60!\cdot\tbinom{76}{56}\Longrightarrow W(1)=\tbinom{20}{1}\cdot(60!)\cdot\tbinom{76}{56}=20\cdot(60!)\cdot\tbinom{76}{56}
עתה, נניח כי קיימים r קרונות מלאים. לכן יש 4\cdot r מושבים תפוסים. מאחר וסה"כ יש 4\cdot20=80 מושבים, נוכל להסיק כי יש 80-4\cdot r מושבים פנויים. מכיוון שכבר הושבנו 4\cdot r תלמידים, נשאר להושיב את שאר 60-4\cdot r התלמידים. לכן בסה"כ ע"פ הסימטריות נקבל:
W(p_{1},...,p_{r})=60!\cdot\tbinom{(20-r)\cdot4}{60-4\cdot r}=60!\cdot\tbinom{80-4\cdot r}{60-4\cdot r}
לפיכך נקבל:
W(r)=\tbinom{20}{r}\cdot(60!)\cdot\tbinom{80-4r}{60-4r}
אי-לכך נוכל למצוא את E(m) ע"פ הנוסחה הבאה:
E(m)=\sum_{r=m}^{20}(-1)^{r-m}\cdot\tbinom{r}{m}\cdot W(r)
בעזרת הסעיף הראשון, נציין כי אם r>15 אזי ישנם יותר מ-15 קרונות מלאים. מאחר ובכל קרון יש בדיוק 4 מושבים, נוכל להסיק כי 4\cdot15=60 מושבים מלאים. מכיוון שמדובר ב-60 ילדים, נוכל להסיק כי W(r)=0 ולכן ע"פ הנוסחה הקודמת נוכל להסיק כי E(m)=0 אם m>0.
עתה, נעבור לסעיף השלישי - לפחות אחד מבין ארבעת הקרונות הראשונים מלא. נשתמש בדרך דומה לזו שהשתמשנו בסעיף הקודם תוך שימוש באותם התנאים, אולם הפעם נתבונן על ארבעת התכונות הראשונות p_{i} כאשר 1\leq i\leq4. על מנת לפתור סעיף זה, נמצא את המשלים, כלומר נחשב את W(0)-E(0) כאשר ע"פ הסעיף הקודם מתקיים:
W(0)=60!\cdot\tbinom{80}{60}
תחילה, נתבונן על קיום תכונה אחת p_{i} כאשר 1\leq i\leq4. בדומה לסעיף הקודם, נקבל:
W(p_{i})=60!\cdot\tbinom{(20-1)\cdot4}{60-4}=60!\cdot\tbinom{76}{56}\Rightarrow W(1)=\sum_{i=1}^{4}W(p_{i})=4\cdot W(p_{i})=4\cdot(60!)\cdot{76 \choose 56}
ע"פ סימטריות נקבל:
W(p_{1},...,p_{r})=60!\cdot\tbinom{(20-r)\cdot4}{60-4\cdot r}=60!\cdot\tbinom{80-4\cdot r}{60-4\cdot r}\Rightarrow W(r)=\tbinom{4}{r}\cdot(60!)\cdot\tbinom{80-4r}{60-4r}
לכן ע"פ הנוסחה נקבל כי מספר האפשרויות לסדר כך שלפחות אחד מבין ארבעית הקרונות הראשונים מלא הינו:
W(0)-E(0)=60!\cdot\tbinom{80}{60}-\sum_{r=1}^{4}(-1)^{r}W(r)=60!\cdot\tbinom{80}{60}-\sum_{r=1}^{4}(-1)^{r}\cdot\tbinom{4}{r}\cdot(60!)\cdot\tbinom{80-4r}{60-4r}
בהצלחה 