שלום, אשמח אם תוכלו לעזור עם השאלה הבאה:
תהי A מטריצה הפיכה מסדר 5\times 5 ותהי B המטריצה כך שמתקיים 4A-5B=0.
חשבו:
\frac{1}{25}\cdot det(4(A^t)^2 B^{-1}A^{-1})
שלום, ברוך הבא לפורום.
נשמח אם פעם הבאה תוכל לתאר מה ניסית ואיפה נתקעת.
על מנת לפתור את הבעיה, נשתמש בנוסחאות הבאות - יהיו X,Y מטריצות ריבועיות מסדר n\times n, אזי מתקיים:
det(X\cdot Y)=det(X)\cdot det(Y) \\
det(\alpha X_{n\times n})=\alpha^n det(A) \\
det(X^t)=det(X)
נתון 4A-5B=0 ולכן 4A=5B משמע det(A)=(\frac{5}{4})^5 det(B). כמו כן, מאחר ו-A היא מטריצה הפיכה מסדר 5\times 5 נובע כי גם B כזאת ולכן גם המטריצה (4(A^t)^2B^{-1}A^{-1}) כזאת.
לכן נקבל:
O=\frac{1}{25}\cdot det(4(A^t)^2B^{-1}A^{-1})=\frac{1}{25}\cdot 4^5\cdot [det(A)]^2\cdot [det(B)]^{-1}\cdot [det(A)]^{-1}
ידוע כי מטריצה A הפיכה ולכן det(A),det(B)\neq 0. לפיכך נובע:
O=\frac{1024}{25}\cdot \frac{det(A)}{det(B)}=\frac{1024}{25}\cdot \frac{(\frac{5}{4})^5 det(B)}{det(B)}=125