חישוב רדיוס מסלול ממוצע בעזרת משפטי קפלר

נתונה השאלה הבאה:
זמן המחזור של כדור הארץ הוא שנה אחת. כמו כן, זמן המחזור של נוגה הוא 0.615 שנים. רדיוס המסלול הממוצע של כדור הארץ הינו 150\cdot 10^6 ק"מ.
חשבו את רדיוס המסלול הממוצע של נוגה (Venus).
כיצד אני צריך להשתמש במשפטי קפלר כדי לחשב את רדיוס המסלול הממוצע של נוגה?
תודה רבה

לפי החוק השלישי של קפלר - ריבוע זמן המחזור T, של תנועת כוכבי לכת סביב השמש פרופורציוני לחזקה השלישית של מחצית הציר הראשי a. באופן פורמלי מתקיים:

T^2=Ka^2

כאשר K הוא קבוע המשותף לכל כוכבי הלכת במערכת השמש
בשאלות אלה בדרך כלל מתייחסים לאליפסה כמעגל עם רדיוס ממוצע. לכן, נוכל להיפטר מהקבוע K ע"י הצבת נתונים של שני כוכבי לכת ולקבל את מערכת המשוואות הבאה:

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3

נחזור לשאלה. נתון כי זמן המחזור של כדור הארץ הוא שנה אחת ולכן T_E=1y. כמו כן, נתון זמן המחזור של נוגה הוא 0.615 שנים ולכן T_V=0.615y. בנוסף לכך, נתון כי רדיוס המסלול הממוצע של כדור הארץ הינו 150\cdot 10^6 ק"מ ולכן נקבל r_E=150\cdot 10^6km.
נציב בחוק השלישי של קפלר, כך שנקבל:

\left(\frac{T_1}{T_2}\right)^2=\left(\frac{r_1}{r_2}\right)^3 \Rightarrow r_V=\frac{r_E}{\sqrt[3]{\left(\frac{T_E}{T_V}\right)^2}}=\frac{150\cdot10^6}{\sqrt[3]{\left(\frac{1}{0.615}\right)^2}}=1.084\cdot 10^6 km

כלמור רדיוס המסלול הממוצע של נוגה הוא 1.084\cdot 10^6 קילומטר.
בהצלחה :slight_smile: