חישוב גבול המורכב ממכפלה של סינוסים בתוך שורש

[Ben]

שלום לכולם, אני מנסה לחשב את הגבול הבא:

\lim_{n\to\infty} \sqrt[n]{1\cdot \sin\left(\frac{1}{1}\right)\cdot 2\cdot \sin\left(\frac{1}{2}\right)\cdot ...\cdot n\cdot \sin\left(\frac{1}{n}\right)}

אני די תקוע ולכן אשמח להסבר כיצד לפתור את הגבול הנ"ל.
תודה רבה

[Zeta]

אתה יכול להשתמש במבחן השורש לסדרות (נקרא גם משפט קושי השני להתכנסות ובאנגלית Cauchy’s second theorem).
משפט: תהי a_n סדרה חיובית. אם \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L אז \lim_{n\to\infty}(a_n)^{\frac{1}{n}}=L.

נגדיר a_n=\prod_{i=1}^{n}i\cdot\sin\left(\frac{1}{i}\right). את ההוכחה שהסדרה a_n היא חיובית אני משאיר לך.
נמצא את הגבול \lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}:

\begin{align*} \lim_{n\to\infty}\frac{\prod_{i=1}^{n+1}i\cdot\sin\left(\frac{1}{i}\right)}{\prod_{i=1}^{n}i\cdot\sin\left(\frac{1}{i}\right)}&=\lim_{n\to\infty}\frac{1\cdot\sin\left(\frac{1}{1}\right)\cdot2\cdot\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cdot...\cdot n\cdot\sin\left(\frac{1}{n}\right)\cdot(n+1)\cdot\sin\left(\frac{1}{n+1}\right)}{1\cdot\sin\left(\frac{1}{1}\right)\cdot2\cdot\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cdot...\cdot n\cdot\sin\left(\frac{1}{n}\right)}\\&=\lim_{n\to\infty}(n+1)\cdot\sin\left(\frac{1}{n+1}\right)=1 \end{align*}

כאשר המעבר האחרון הוא בעזרת \lim_{n\to0}\frac{\sin(n)}{n}=1 והחלפת משתנים.
לכן, לפי משפט Cauchy’s second theorem נקבל:

\lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{1\cdot\sin\left(\frac{1}{1}\right)\cdot2\cdot\sin\left(\frac{1}{2}\right)\cdot...\cdot n\cdot\sin\left(\frac{1}{n}\right)}=1

בהצלחה