שלום לכולם, נתונה הפונקציה הבאה:
f(x)=\frac{x+x^2+\cdots+x^{13}-13}{5(x-1)}
אני מנסה לחשב את הגבול \lim_{x\to 1}f(x).
אני מנסה למצוא נוסחה כדי לפשט את הסכום x+x^2+\cdots+x^{13} על מנת לפתור את השאלה, אולם אני לא מצליח להגיע לפתרון.
אשמח לעזרה 
ישנן מספר דרכים לחשב את הגבול הנ"ל. אם אתה מעוניין לפשט את הסכום, אתה צריך להשתמש בחילוק פולינומים. אני אכליל את הסכום במונה להיות:
x+x^2+\cdots+x^n-n=\left(\prod_{i=1}^{n}x^i\right)-n
כלומר הפונקציה החדשה הינה (הוצאתי את ה-5 כרגע כדי לבצע את החילוק בצורה פשוטה יותר):
\frac{x+x^2+\cdots+x^n-n}{x-1}
החילוק בעצם יראה כך:
(x-1) | x^n x^n-1 x^n-2 ... x 1
----------| 1 1 1 ... 1 -n
1 | 0 1 2 ... n-1 n
| 1 2 3 ... n 0
מכך, נוכל להסיק כי מתקיים:
\frac{x^n + x^{n-1} + x^{n-2} + \cdots + x - n}{x-1} = x^{n-1} + 2x^{n-2} + 3x^{n-3} + \cdots +n x^{0}=\sum_{k=1}^{n} kx^{n-k}
בפרט, עבור 13 האיברים מתקיים:
f(x)=\frac{x+x^2+\cdots+x^{13}-13}{5(x-1)}=\frac{1}{5}\sum_{k=1}^{13} kx^{13}
לכן הגבול המבוקש הינו:
\lim_{x\to 1}f(x)=\lim_{x\to 1} \frac{1}{5}\sum_{k=1}^{13} kx^{13}=\frac{1}{5}\left(1+2+3+\cdots+13\right)
נשתמש בסכום של סדרה חשובנית כדי לחשב את הסכום הנ"ל, כאשר האיבר הראשון הוא a_1=1 וההפרש הוא d=1:
\lim_{x\to 1}f(x)=\frac{1}{5}\cdot\frac{13}{2}\cdot\left(2\cdot1+1\cdot(13-1)\right)=\frac{91}{5}
כלומר הגבול המבוקש הינו \frac{91}{5}.
אגב, ניתן לפתור את השאלה גם בעזרת טור מקולרן וגם בעזרת כלל לופיטל. נראה כיצד ניתן לפתור אותו בעזרת כלל לופיטל. הפונקציות במונה ובמכנה של הפונקציה f הן רציפות לכל x ממשי ולכן גזירות. שים לב כי מתקיים:
\lim_{x\to1} \left(x+x^2+\cdots+x^{13}-13\right) =0,\, \lim_{x\to1} (x-1)=0
לכן, נוכל להשתמש בכלל לופיטל ולקבל:
\begin{align*}
\lim_{x\to 1}f(x)&=\lim_{x\to 1}\frac{x+x^2+\cdots+x^{13}-13}{5(x-1)}\\ &=\lim_{x\to 1}\frac{1+2x+3x^2+\cdots+13x^{13}}{5}\\ &=\frac{1}{5}\left(1+2\cdot 1+3\cdot 1^2+\cdots+13\cdot 1^{13}\right)=\frac{91}{5}
\end{align*}
מקווה שמובן, בהצלחה