שלום, יש לי את השאלה הבאה:
מול שחקן ניצב כד ובו N כדורים: 1 שחור והשאר לבנים. השחקן יקבל פרס כשיוציא את הכדור השחור ולשם כך הוא יכול לבחור בין שתי שיטות:
שיטה I - מוציא באקראי כדורים ללא החזרה. מחיר כל הוצאת כדור הוא 12 ש"ח.
שיט II - מוציא באקראי כדורים עם החזרה. מחיר כל הוצאת כדור הוא 8 ש"ח.
בהנחה שרוצוננו בתוחלת מחיר נמוכה, איזו שיטה עדיפה? (שימו לב שתיתכן תלות ב-N).
אני חישבתי את הפה״מ של שיטה I:
P(X=n)=\left[\prod_{m=0}^{n-1}\frac{N-1-m}{N-m}\right]\cdot \frac{1}{N-1-n}
כאשר n זה מספר הניסויים. לכן לפי הגדרה התוחלת היא:
E(x)=\sum_{n} n\cdot 12\cdot \left(\left[\prod_{m=0}^{n-1}\frac{N-1-m}{N-m}\right]\cdot \frac{1}{N-1-n}\right)
בשיטה השניה יש התפלגות גאומטרית כאשר הצלחה זה הוצאת כדור שחור ולכן התוחלת היא:
E(x)=\sum_{n} n\cdot 8\cdot N
הבעיה היא שאני לא יודעת איך להשוות בין התוחלות. אפשר עזרה בבקשה?
תודה רבה על כל העזרה מראש.