הוכחת שוויון בין טורים בעזרת משפט רימן

[Yuval]

נגדיר את הטור הבא:

s=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}

הראו שאם מקבצים את האיברים של הטור בסדר שונה, כך שלאחר כל זוג איברים חיובים עומד איבר שלילי מקבלים:

\frac{3s}{2}=1+\frac{1}{3}-\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}-\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{4k-3}+\frac{1}{4k-1}-\frac{1}{2k}+\cdots

ניתנה לנו השאלה הנ"ל כתרגיל בית. ניסיתי כל מיני דרכים אך התייאשתי. אשמח לעזרה.
תודה לעוזרים

[Zeta]

הטור s הוא טור מוכר הנקרא הטור ההרמוני המתחלף. מאחר שזהו טור לייבניץ, טור זה מתכנס. לפי טור טיילור של הלוגריתם הטבעי ידוע כי סכומו של הטור הינו:

s=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n}=\ln(2)

במהלך ההוכחה, נשתמש במשפט רימן. משפט רימן הוא משפט הקובע שלכל טור המתכנס בתנאי ולכל מספר ממשי ניתן לשנות את סדר האיברים של הטור ולקבל טור המתכנס למספר. אתה יכול להוכיח בעזרת אחד המבחנים שהטור s והטור המבוקש הם טורים מתכנסים ולכן נוכל להסיק כי ניתן לסדר את האיברים של הטורים מחדש.
אנו מעוניינים לחשב את הטור:

\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{2 n}\right)

נפתח את הטור הנתון s:

s= 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} +\frac{1}{5} - \frac{1}{6} +\frac{1}{7} - \frac{1}{8} +\cdots

נכפול בחצי את הטור הנ"ל:

\frac{1}{2}s= \frac{1}{2} - \frac{1}{4} + \frac{1}{6} - \frac{1}{8} +\frac{1}{10} - \frac{1}{12} +\frac{1}{14} - \frac{1}{16} +\cdots

טור זה ניתן לכתוב גם בצורה הבאה:

\frac{1}{2}s=0+ \frac{1}{2} +0- \frac{1}{4} +0+ \frac{1}{6}+0 - \frac{1}{8}+\cdots

אתה מצליח לראות את הדמיון בין הטור s לטור 0.5s? (שים לב לסדר)
נחבר את שני הטורים ונקבל:

\frac{3}{2}s=1+0 + \frac{1}{3} -\frac{1}{2}+\frac{1}{5}+ 0 + \frac{1}{7} - \frac{1}{4}+ \cdots

נוריד את האפסים ונקבל:

\frac{3}{2}s=1+ \frac{1}{3} -\frac{1}{2}+\frac{1}{5} + \frac{1}{7} - \frac{1}{4}+ \cdots = \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{2 n}\right)

כנדרש.
ניתן להראות זאת גם בדרך דומה נוספת. רמז:

\begin{align*} \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4 n-3}+\frac{1}{4 n-1}-\frac{1}{2 n}\right)&=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4n-3} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n} - \frac{1}{4n}\right)\\ &=\sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4n-3} + \frac{1}{4n-2} -\frac{1}{4n-2} +\frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n} - \frac{1}{4n}\right)\\ &= \sum\limits_{n=1}^{\infty} \left(\frac{1}{4n-3} - \frac{1}{4n-2} + \frac{1}{4n-1} - \frac{1}{4n} \right)+\sum\limits_{n=1}^{\infty}\left( \frac{1}{4n-2} - \frac{1}{4n}\right) \end{align*}

בהצלחה