מציאת סופרמום ואינפימום של סדרה

מתמטיקה
1

היי, יש לי את הסדרה הבאה:

a_n=\langle\sqrt{n}\rangle

הצלחתי להוכיח שהסדרה חסומה. עכשיו אני צריך לחשב את הגבול התחתון שלה ולמצוא את האינפימום שלה (אם יש לה אינפימום אז בהכרח זה אומר שיש לה מינימום?)
כנ’'ל לגבי הגבול העליון והסופרמום.
לא יצא לי כמו בתשובות ורציתי לראות מה הדרך הנכונה לפתור את זה.

תשובות סופיות: באחד הסעיפים בשאלה מוכיחים כי L=1 הוא גבול חלקי של הסדרה a_n.
הגבול התחתון הוא 0, הגבול העליון הוא 1. האינפימום והמינימום שניהם 0. המקסימום וסופרמום לא קיימים.
תודה מראש על העזרה! :slight_smile:

2

נראה שאתה לא סגור על ההגדרות ולכן נתחיל איתם.
תהי A\subseteq \mathbb{R} קבוצה חסומה מלעיל ולא ריקה. החסם מלעיל המינימלי של A נקרא החסם העליון של A (באנגלית: supremum) ומוסמן על-ידי \sup A.
תהי B\subseteq \mathbb{R} קבוצה חסומה מלרע ולא ריקה. החסם מלרע המקסימלי של B נקרא החסם התחתון של B (באנגלית: infimum) ומוסמן על-ידי \inf B.

כמו כן, שאלת לגבי הקשר בין אינפימום ומינימום. שתי הטענות הבאות אמורות לענות לך על השאלה:
תהי A\subseteq \mathbb{R} קבוצה בעלת מקסימום. לכן \sup A=\max A.
תהי B\subseteq \mathbb{R} קבוצה בעלת מינימום. לכן \inf A=\min B.

נחזור לתרגיל. אתה בטוח שכתוב בספר שלסדרה הנ"ל אין מקסימום וספרמום? אם כן, זאת כנראה טעות. נתונה הסדרה a_n=\langle\sqrt{n}\rangle.
ע"פ הגדרת ערך שלם מתקיים:

a_n=\sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor

נרצה לחשב את הסופרימום של הסדרה a_n, כלומר נרצה להוכיח כי מתקיים:

\sup \left\{ \sqrt{n} - \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor : n \in \Bbb{N} \right\} = 1

לכל n טבעי מתקיים \sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor<1 ולכן 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה a_n. נוכיח שהוא החסם מלעיל המינימלי.
לכל \epsilon>0 קיים n\in\mathbb{N} כך שמתקיים:

\sqrt{n} - \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor > 1-\epsilon

נוכיח זאת. נבחר k > \frac1\epsilon + 1 ו-n = k^2 -1. לכן \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor = k-1 וגם \sqrt{n} = (k-1) + x עבור 0<x<1. לפיכך, לכל x : |x|\leq 1 מתקיים:

1+\frac{x}2-\frac{x^2}8 = \sqrt{1+x-\frac{x^3}{8}+\frac{x^4}{64}} < \sqrt{1+x}

באופן פרקטי, תבחר x = \frac{2}{k-1} כך שמתקיים:

\sqrt{1+\frac2{k-1}}> 1+\frac1{k-1}-\frac1{2(k-1)^2} \\ (k-1)\sqrt{1+\frac2{k-1}}> (k-1)\left(1+\frac1{k-1}-\frac1{2(k-1)^2} \right)\\ \sqrt{k^2-2k+1+2(k-1)}> k-1+1-\frac1{2(k-1)} \\ \sqrt{k^2-1)}> k-\frac1{2(k-1)} > k-\frac1{2/\epsilon} = k-\frac{\epsilon}{2} > k-\epsilon

לפיכך, נוכל להסיק ע"פ ההגדרה כי מתקיים:

\left\{ \sqrt{n} - \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor \right\}> 1-\epsilon

בסה"כ נוכל להסיק כי הסופרימום של הסדרה a_n הוא 1.
לכל n טבעי מתקיים \sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor\geq 0 ולכן 0 הוא חסם מלרע של הסדרה a_n. באותו אופן כמו שהוכחנו את הסופרימום של הסדרה a_n, תוכיח כי 0 הוא האינפרימום של הסדרה כאשר תבחר n=k^2 במקום n=k^2-1.