מציאת סופרמום ואינפימום של סדרה

מתמטיקה
2

נראה שאתה לא סגור על ההגדרות ולכן נתחיל איתם.
תהי A\subseteq \mathbb{R} קבוצה חסומה מלעיל ולא ריקה. החסם מלעיל המינימלי של A נקרא החסם העליון של A (באנגלית: supremum) ומוסמן על-ידי \sup A.
תהי B\subseteq \mathbb{R} קבוצה חסומה מלרע ולא ריקה. החסם מלרע המקסימלי של B נקרא החסם התחתון של B (באנגלית: infimum) ומוסמן על-ידי \inf B.

כמו כן, שאלת לגבי הקשר בין אינפימום ומינימום. שתי הטענות הבאות אמורות לענות לך על השאלה:
תהי A\subseteq \mathbb{R} קבוצה בעלת מקסימום. לכן \sup A=\max A.
תהי B\subseteq \mathbb{R} קבוצה בעלת מינימום. לכן \inf A=\min B.

נחזור לתרגיל. אתה בטוח שכתוב בספר שלסדרה הנ"ל אין מקסימום וספרמום? אם כן, זאת כנראה טעות. נתונה הסדרה a_n=\langle\sqrt{n}\rangle.
ע"פ הגדרת ערך שלם מתקיים:

a_n=\sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor

נרצה לחשב את הסופרימום של הסדרה a_n, כלומר נרצה להוכיח כי מתקיים:

\sup \left\{ \sqrt{n} - \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor : n \in \Bbb{N} \right\} = 1

לכל n טבעי מתקיים \sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor<1 ולכן 1 הוא חסם מלעיל של הסדרה a_n. נוכיח שהוא החסם מלעיל המינימלי.
לכל \epsilon>0 קיים n\in\mathbb{N} כך שמתקיים:

\sqrt{n} - \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor > 1-\epsilon

נוכיח זאת. נבחר k > \frac1\epsilon + 1 ו-n = k^2 -1. לכן \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor = k-1 וגם \sqrt{n} = (k-1) + x עבור 0<x<1. לפיכך, לכל x : |x|\leq 1 מתקיים:

1+\frac{x}2-\frac{x^2}8 = \sqrt{1+x-\frac{x^3}{8}+\frac{x^4}{64}} < \sqrt{1+x}

באופן פרקטי, תבחר x = \frac{2}{k-1} כך שמתקיים:

\sqrt{1+\frac2{k-1}}> 1+\frac1{k-1}-\frac1{2(k-1)^2} \\ (k-1)\sqrt{1+\frac2{k-1}}> (k-1)\left(1+\frac1{k-1}-\frac1{2(k-1)^2} \right)\\ \sqrt{k^2-2k+1+2(k-1)}> k-1+1-\frac1{2(k-1)} \\ \sqrt{k^2-1)}> k-\frac1{2(k-1)} > k-\frac1{2/\epsilon} = k-\frac{\epsilon}{2} > k-\epsilon

לפיכך, נוכל להסיק ע"פ ההגדרה כי מתקיים:

\left\{ \sqrt{n} - \left\lfloor \sqrt{n} \right \rfloor \right\}> 1-\epsilon

בסה"כ נוכל להסיק כי הסופרימום של הסדרה a_n הוא 1.
לכל n טבעי מתקיים \sqrt{n}-\lfloor\sqrt{n}\rfloor\geq 0 ולכן 0 הוא חסם מלרע של הסדרה a_n. באותו אופן כמו שהוכחנו את הסופרימום של הסדרה a_n, תוכיח כי 0 הוא האינפרימום של הסדרה כאשר תבחר n=k^2 במקום n=k^2-1.