קבעו האם הטור הבא מתכנס בהחלט, מתכנס בתנאי או מתבדר:
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{e^n+n^4}{(-3)^{n^2-n+1}+\ln(n+1)}
האם מישהו יכול לתת לי הכוונה לסעיף? ניסיתי לעשות מספרי מבחני התכנסות אבל לא הצלחתי.
תודה רבה
שלום @barshix, כל שאלה קונקרטית צריכה להיות בשאלה נפרדת (כדי יהיה קל יותר לחפש חומר). מאחר והסעיפים בלתי תלויים, ערכתי את השאלה והשארתי את הסעיף הראשון. אם אתה מעוניין לשאול את הסעיף השני, אנא פתח פוסט חדש 
לגבי התרגיל: הטור המבוקש מתכנס בהחלט. תוכיח כי מתקיים:
\left|\frac{e^n+n^4}{(-3)^{n^2-n+1}+\ln(n+1)}\right| <\frac{e^n+n^4}{3^{n^2-n+1}-\ln(n+1)}
תוציא את e^{n} מהמונה ואת 3^{n^{2}-n} כך שתקבל את הסדרה \frac {e^{n}} {3^{n^{2}-n}} b_n כאשר b_n\to\frac{1}{3}.
כעת, תשווה את הטור הנ"ל עם \sum \frac {e^{n}} {3^{n^{2}-n}}. שים לב כי לכל n>2 מתקיים n^{2} -n >n ולכן \sum (\frac e 3)^{n} מתכנס. בצורה זו אתה אמור להגיע לפתרון הנכון.
עריכה: כשתוציא את הגורמים יצא לך ביטוי מהצורה \frac{1+c_n}{3-d_n} כאשר c_n=\frac{n^4}{e^n} ו-d_n=\frac{\ln(n+1)}{3^{n^2-n}}. לכן c_n\to 0 וגם d_n\to 0 משמע b_n\to \frac{1}{3}.
עריכה שנייה: ביותר פירוט, נשים לב כי מתקיים:
\frac{e^n+n^4}{3^{n^2-n+1}-\ln(n+1)}=\frac{e^n}{3^{n^2-n}}\cdot \left(\frac{1+\frac{n^4}{e^n}}{3-\frac{\ln(n+1)}{3^{n^2-n}}} \right)
נגדיר c_n=\frac{n^4}{e^n} ו- d_n=\frac{\ln(n+1)}{3^{n^2-n}}. נוכיח כי c_n\to 0. קיימות מספר דרכים להראות את זה (כגון להשתמש בטור מקלורן). הבסיסית ביותר היא כנראה להשתמש בזהות הידועה e^t\geq 1+t לכל t\in\mathbb{R}. לכן נקבל:
0\leq\frac{n^4}{e^n}=\frac{n^4}{(e^{\frac{n}{8}})^{8}}\leq\frac{n^4}{\left ( 1+\frac{n}{8} \right )^{8}}=\left(\frac{n}{(1+\frac{n}{8})^2}\right)^4
שני הצדדים שואפים לאפס ולכן ע"פ משפט הסנדוויץ נובע c_n\to 0.
נוכיח כי d_n\to 0. גם כאן, קיימות מספר דרכים להראות את זה (שוב, בעזרת טור מקלורן). הבסיסית ביותר היא כנראה להשתמש בכך שלכל n טבעי מתקיים \ln(n+1)\leq n וגם 3^{n^2-n}\geq n^2. לכן נקבל:
0\leq \frac{\ln(n+1)}{3^{n^2-n}}\leq \frac{n}{n^2}=\frac{1}{n}
שני הצדדים שואפים לאפס ולכן ע"פ משפט הסנדוויץ נובע d_n\to 0.
מקווה שמובן, בהצלחה
האם תוכל להסביר איך b_n שואף לשליש? אני לא מצליח להגיע לתוצאה הזו
האם תוכל להראות איך d_n ו-c_n שואפים לאפס? ניסיתי לכתוב את זה בעצמי אבל לא כל כך מבין איך הצלחת להגיע למסקנה הזו